均匀分布二维概率密度
时间: 2024-07-08 16:00:35 浏览: 219
在概率论和统计学中,二维均匀分布(也称为矩形分布)指的是随机变量在某个二维矩形区域内的概率分布是均匀的。这种分布的特点是,对于所有位于该矩形内的点,其概率密度是一致的,而不依赖于具体的坐标位置。
具体来说,如果有一个二维随机变量(X, Y),它的概率密度函数(pdf) p(x, y) 对于所有位于矩形区域 [a, b] x [c, d] 内的 (x, y) 点都为常数 k(k 可以通过面积的倒数计算得到,即 k = 1 / (b - a)(d - c)),则称 (X, Y) 服从二维均匀分布。
数学表达式为:
\[ p(x, y) = \begin{cases}
k & \text{if } a \leq x \leq b \text{ and } c \leq y \leq d \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
相关问题
设二维连续随机变量(X,Y)在三角区域D={(x,y)|x<y<2,0<x<2}内服从均匀分布,试求:1.(X,Y)的概率密度;2.边缘概率密度;3.判断X与Y是否独立
1. (X,Y)的概率密度为:
当(x,y)在三角形D内时,f(x,y)=1/S,否则f(x,y)=0,其中S是三角形D的面积。
因为D是一个直角三角形,斜边的长度为2,所以三角形D的面积为1。
因此,(X,Y)的概率密度为:
f(x,y) = { 1, (x,y)∈D
{ 0, otherwise
2. X的边缘概率密度为:
fX(x) = ∫f(x,y)dy,积分区间为y=x到y=2
因此,
fX(x) = { ∫1dx, 0<x<2
{ 0, otherwise
易知,fX(x) = 1,0<x<2
同理,Y的边缘概率密度为:
fY(y) = ∫f(x,y)dx,积分区间为x=0到x=y
因此,
fY(y) = { ∫1dy, 0<y<2
{ 0, otherwise
易知,fY(y) = 2-y,0<y<2
3. 判断X与Y是否独立
由于X,Y的联合概率密度函数f(x,y)不等于X的边缘概率密度函数fX(x)与Y的边缘概率密度函数fY(y)的乘积,因此X与Y不独立。