拟合优度检验（χ 2 \chi^2χ 2 检验）

拟合优度检验，也称为卡方检验（Chi-squared test），是一种统计分析方法，用于评估观察数据与理论预期或假设模型之间是否存在显著差异。它主要用于分类变量的数据，通常用于独立性检验（例如列联表分析），看两个类别变量之间是否有关联。在这个测试中，我们计算实际频率与期望频率之间的偏差，并将其转化为卡方统计量（χ²），这个值越大，说明数据与预期的偏离越严重。

卡方检验的步骤主要包括：
1. 构建列联表，列出所有可能的观测组合及其对应的频数。
2. 计算每个单元格的期望频数，通常是基于总体比例乘以总样本大小。
3. 计算每个单元格的理论频数与实际频数的差平方并除以期望频数。
4. 将所有这些差分的平方除以各自的期望频数，然后汇总形成卡方统计量。
5. 查阅卡方分布表或使用软件得到p值，如果p值小于预设的显著性水平（如0.05），则拒绝原假设，认为两个变量间存在关联。

相关问题

（2） 卡方拟合优度检验 Python程序\

### 卡方拟合优度检验的Python实现

卡方拟合优度检验是一种统计方法，用于评估观测数据与理论分布之间的差异。该测试可以验证样本是否来自特定的概率分布。

#### 使用SciPy库执行卡方拟合优度检验
为了方便起见，在Python中通常会利用`scipy.stats.chisquare()`函数来完成这项工作[^3]。下面是一个具体的例子：

假设有一个骰子被投掷了10次，得到的结果如下所示：

| 面数 | 观测频数 |
| -- | -------- |
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| 3 | 3 |
| 4 | 1 |
| 5 | 2 |
| 6 | 1 |

如果这是一个公平的六面骰子，则理论上每一面出现的概率应该是相同的，即约为\( \frac{1}{6}\)，因此期望频率为总次数除以类别数目（在这个案例里就是10/6）。现在可以通过编写一段简单的Python程序来进行卡方拟合优度检验：

from scipy import stats
import numpy as np

observed_frequencies = [2, 1, 3, 1, 2, 1]
expected_frequency_per_category = sum(observed_frequencies)/len(observed_frequencies)

# 创建一个长度等于观察到的不同类别的数组，其中每个元素都是预期频率
expected_frequencies = np.full_like(
    observed_frequencies,
    expected_frequency_per_category
)

chi_squared_statistic, p_value = stats.chisquare(f_obs=observed_frequencies, f_exp=expected_frequencies)
print("Chi-squared statistic:", chi_squared_statistic)
print("P-value:", p_value)

这段代码首先定义了一个列表`observed_frequencies`表示各个分类下的实际发生次数；接着计算出总的试验次数并据此得出每种类别应有的平均期望值；最后调用了`stats.chisquare()`函数传入两个参数——分别是观测到的数据以及对应的期望值向量，并打印出了χ²统计量及其关联p值。

通过比较所得p值和预设显著性水平α(比如0.05), 可以判断原假设H₀ (即骰子是公正无偏倚) 是否成立。当p<α时拒绝零假设认为存在偏差; 否则接受零假设说明没有足够的证据表明有偏离现象。

stata拟合优度检验

### 如何在Stata中执行拟合优度检验

#### 使用Logistic回归模型的拟合优度检验
对于logistic回归模型，在Stata中可以通过`estat gof`命令来计算Hosmer-Lemeshow卡方统计量，该统计量用来衡量预测概率与实际观测之间的差异程度。如果p值较大，则说明模型具有较好的拟合效果。

logit y x1 x2
estat gof, group(10)

上述代码先建立了y对自变量x1和x2的逻辑斯蒂回归模型[^4]；接着通过指定分组数目为10来进行 Hosmer-Lemeshow测试[^4]。

#### 对于一般线性模型或其他类型的广义线性模型
针对其他形式的广义线性模型（GLM），比如泊松分布或负二项式分布等计数资料适用的情形下，可以采用偏差残差为基础的方法来做拟合优度检测：

glm y x1 x2, family(poisson) link(log)
estat gof

这里选择了泊松族作为响应变量的概率分布假设，并指定了自然对数链接函数[^2]。之后调用了`estat gof`指令完成对该类模型的整体性能评估工作[^2]。

#### 处理门限模型时的拟合优度考量
当涉及到更复杂的非线性结构如门限效应时，除了常规手段外还需要特别留意阈值参数估计的有效性和稳定性问题。虽然没有专门针对这类特殊情形下的全局性测度工具，但是可以从以下几个方面入手间接考察其合理性：
- 检查不同子样本内部是否存在明显的模式变化；
- 利用似然比检验对比单门槛设定与其他多层嵌套方案之间的好坏差别；
- 基于交叉验证技术挑选最优复杂度水平从而达到泛化能力最大化的目的。

// 进行门限模型估计
xtthresh y x1 x2, threshvar(z)

// 通过lrtest比较两个嵌套模型
quietly xtreg y x1 x2 i.group if z<=threshold_value
estimates store low_model
quietly xtreg y x1 x2 i.group if z>threshold_value
estimates store high_model
lrtest low_model high_model

这段脚本展示了如何利用Stata内置功能实现两阶段最小二乘法估算带有一个已知分割点z处转换条件的面板数据集上的门限反应规格[^1]。随后借助似然比率测试判断两种情境下各自对应的局部趋势是否具备显著区别。