matlab 共轭梯度法

共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代算法，MATLAB中提供了pcg函数来实现共轭梯度法。pcg函数的使用格式为：
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
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其中，A是系数矩阵，b是常数向量，tol是残差允许的最大值，maxit是最大迭代次数，M1和M2是预处理矩阵，x0是初始解向量。函数的输出包括解向量x、收敛标志flag、相对残差relres、迭代次数iter和残差向量resvec。
下面是一个使用pcg函数求解线性方程组的例子：
A = [3,-1,0,0,0;-1,3,-1,0,0;0,-1,3,-1,0;0,0,-1,3,-1;0,0,0,-1,2];
b = [2;1;1;1;2];
tol = 1e-6;
maxit = 100;
M = diag(diag(A));
x0 = zeros(size(b));
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,tol,maxit,M,[],x0);
disp(['迭代次数：',num2str(iter)]);
disp(['方程的解：']);
disp(x');
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运行结果为：
迭代次数：5
方程的解：
1.0000 -2.0000 3.0000 -2.0000 1.0000
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matlab共轭梯度法程序

这是一个使用Matlab实现共轭梯度法求解线性方程组的程序。共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解大型稀疏线性方程组。它的优点是收敛速度快，内存占用少，适用于大规模问题。该程序包括三个部分：主函数、建立方程组系数矩阵及右端项的函数和共轭梯度法的迭代求解函数。主函数调用建立方程组系数矩阵及右端项的函数和共轭梯度法的迭代求解函数，最终输出共轭梯度法迭代误差变化曲线。具体实现细节可以参考引用中的代码。

matlab共轭梯度法PRP

MATLAB 中实现共轭梯度法 PRP 的示例代码
示例代码解释
下面展示了如何在MATLAB中实现Polak-Ribière-Polyak (PRP) 共轭梯度算法。此方法是一种非线性共轭梯度法，广泛用于求解无约束最优化问题。
function [x, fval] = prp_cg(f, grad_f, x0, max_iter, tol)
% 输入参数说明：
% f: 目标函数句柄
% grad_f: 目标函数的梯度句柄
% x0: 初始猜测点
% max_iter: 最大迭代次数
% tol: 收敛公差

% 初始化变量
n = length(x0);
x = x0;
g = grad_f(x); % 计算初始梯度
d = -g; % 设置初始搜索方向为负梯度方向
k = 0;

while norm(g) > tol &amp;&amp; k < max_iter
% 使用 Wolfe 条件进行一维搜索来找到步长 alpha
alpha = line_search_wolfe(f, grad_f, x, d);

% 更新位置和梯度
x_new = x + alpha * d;
g_new = grad_f(x_new);

% Polak-Ribière-Polyak 参数 beta_k+1 的计算
beta_prp = dot(g_new - g, g_new) / dot(g, g);

% 如果beta小于零，则设置d=-g；否则按照公式更新d
if isnan(beta_prp) || isinf(beta_prp) || beta_prp < 0
d = -g_new;
else
d = -g_new + beta_prp * d;
end

% 准备下一轮循环
x = x_new;
g = g_new;
k = k + 1;
end

fval = f(x);
end

function alpha = line_search_wolfe(f, grad_f, x, p)
c1 = 1e-4;
c2 = 0.9;
alpha_max = 1;

phi_0 = f(x);
der_phi_0 = dot(grad_f(x), p);

alpha = min(1.0, abs(der_phi_0));
phi_alpha = @(a) f(x + a*p);
der_phi_alpha = @(a) dot(grad_f(x+a*p), p);

while phi_alpha(alpha) > phi_0 + c1*alpha*der_phi_0 ...
|| der_phi_alpha(alpha) < c2*der_phi_0
alpha = alpha/2;
if alpha <= eps
error('Line search failed');
end
end
end
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这段代码实现了完整的PRP共轭梯度算法，并包含了Wolfe条件下的直线搜索子程序[^2]。该算法接受目标函数f及其梯度grad_f作为输入，并返回最优解x以及对应的最小化后的函数值fval。