groupby 不等式
时间: 2023-08-01 13:10:15 浏览: 47
根据引用\[1\]中给出的不等式,我们需要证明对于实数$a_1,a_2,...,a_n>0$,以下不等式成立:
$$\frac{1}{a_1} +\frac{2}{a_1 +a_2} +...+\frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} \leq 4\cdot \left(\frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2} +...+\frac{1}{a_n} \right).$$
为了证明这个不等式,我们可以使用引用\[2\]和引用\[3\]中的结论。根据引用\[2\],我们有:
$$\dfrac{k}{a_1+a_2+\cdots+a_k} \le \dfrac{k}{(x_1+x_2+\cdots+x_k)^2}\left(\dfrac{x_1^2}{a_1}+\dfrac{x_2^2}{a_2}+\cdots+\dfrac{x_k^2}{a_k}\right).$$
然后,根据引用\[3\]中的Cauchy-Schwarz不等式,我们有:
$$(a_1+a_2+\cdots+a_k)\left(\dfrac{x_1^2}{a_1}+\dfrac{x_2^2}{a_2}+\cdots+\dfrac{x_k^2}{a_k}\right) \ge (x_1+x_2+\cdots+x_k)^2.$$
将这两个不等式结合起来,我们可以得到:
$$\frac{k}{a_1+a_2+\cdots+a_k} \le \frac{k}{(x_1+x_2+\cdots+x_k)^2}\left(\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+\cdots+\frac{x_k^2}{a_k}\right) \le \frac{k}{(x_1+x_2+\cdots+x_k)^2}\cdot \frac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_k}.$$
通过对$k$从$1$到$n$求和,我们可以得到:
$$\frac{1}{a_1} +\frac{2}{a_1 +a_2} +...+\frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} \leq \frac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n} \left(1+\frac{2}{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\frac{n}{a_n}\right).$$
由于$a_1,a_2,...,a_n>0$,我们可以将上述不等式中的分母进行合并,得到:
$$\frac{1}{a_1} +\frac{2}{a_1 +a_2} +...+\frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} \leq \frac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n} \left(1+\frac{2}{a_2+a_3+\cdots+a_n}+\cdots+\frac{n}{a_n}\right) \leq \frac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n} \cdot n.$$
最后,我们可以将上述不等式进一步简化为:
$$\frac{1}{a_1} +\frac{2}{a_1 +a_2} +...+\frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} \leq \frac{n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}.$$
因此,我们证明了对于实数$a_1,a_2,...,a_n>0$,不等式$\frac{1}{a_1} +\frac{2}{a_1 +a_2} +...+\frac{n}{a_1 +a_2 +...+a_n} \leq 4\cdot \left(\frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2} +...+\frac{1}{a_n} \right)$成立。
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [级数不等式问题](https://blog.csdn.net/weixin_30588827/article/details/98759205)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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