自控拉普拉斯变换公式

### 自动控制理论中的拉普拉斯变换公式

#### 定义
对于时间域内的函数 \( f(t) \)，其单边拉普拉斯变换定义为：

\[ F(s) = L\{f(t)\} = \int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t) dt \]

其中，\( s \) 是复变量。

#### 性质

##### 线性性
如果存在两个函数 \( f_1(t) \) 和 \( f_2(t) \)，以及常数 \( a, b \)，那么有：

\[ L\{af_1(t)+bf_2(t)\}=aF_1(s)+bF_2(s) \][^2]

##### 微分定理
设 \( f(t) \) 的导数连续，则微分定理表达如下：

\[ L\{\frac{d}{dt}f(t)\}=sL\{f(t)\}-f(0^-) \]

##### 积分定理
积分定理描述了原函数与其积分形式之间的关系：

\[ L\left\{\int_0^{t}f(\tau)d\tau\right\}=\frac{1}{s}F(s), (假设初始条件为零) \]

##### 延迟定理
当信号延迟一段时间 \( T \) 后再作用于系统时，对应的像函数会发生变化：

\[ L\{f(t-T)\cdot u(t-T)\}=e^{-Ts}\cdot F(s) \]

这里 \( u(t) \) 表示单位阶跃函数。

##### 位移定理
若给定的时间函数乘以指数因子 \( e^{at} \)，则可以得到新的象函数：

\[ L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a) \]

##### 初值定理
用于求解原函数在 \( t=0^+ \) 处的极限值：

\[ f(0^+) = \lim _ {s \to \infty } sF(s) \]

##### 终值定理
用来计算原函数趋于无穷大时刻的状态：

\[ f(\infty ) = \lim _ {s \to 0 } sF(s) , (\text{Re}(s)>0,\; 收敛区域包含虚轴) \]

#### 常见的拉普拉斯变换对

| 时间域 | 频率域 |
| --- | --- |
| δ(t) | 1 |
| 1 | $\frac{1}{s}$ |
| $e^{-at}$ | $\frac{1}{s+a}$ |
| sin⁡ωt | $\frac{\omega}{s^2+\omega ^2}$ |
| cos⁡ωt | $\frac{s}{s^2+\omega ^2}$ |

这些基本特性和常见变换对构成了自动控制系统分析的基础工具集[^1]。