softmax每个结点的误差信号

### Softmax 函数中的误差信号计算

对于 softmax 层中每个节点的误差信号，通常通过链式法则来求解。假设网络的最后一层是 softmax 层，并且损失函数采用交叉熵形式，则可以得到如下表达：

设 \( z_j \) 表示第 j 个神经元输入到激活函数之前的加权和；\( y_j \) 是经过 softmax 转换后的输出概率分布向量；而 \( t_j \) 则代表目标标签的真实分布。

那么针对某个特定类别的预测值 \(y_i\) 的导数可表示为:

\[ \delta_i = y_i - t_i \]

这里 \( \delta_i \) 就是指该类别对应的误差项[^1]。

具体来说，在实现过程中可以通过下面这段 Python 代码展示这一过程：

import numpy as np

def softmax(x):
    """Compute the softmax function."""
    e_x = np.exp(x - np.max(x))
    return e_x / e_x.sum(axis=0)

def compute_softmax_loss_gradient(output, target):
    """
    Compute gradient of loss w.r.t. input to softmax.
    
    :param output: Output from softmax layer (predicted probabilities), shape=(batch_size, num_classes).
    :param target: One-hot encoded true labels, same shape as `output`.
    :return: Gradient with respect to inputs into softmax layer, same shape as `output`.
    """
    grad_input = output - target
    
    return grad_input

此代码实现了基于上述公式的梯度计算逻辑，其中`compute_softmax_loss_gradient()`接收两个参数：一个是来自 softmax 输出的概率分布矩阵 `output` ，另一个是一组独热编码的目标标签 `target` 。返回的结果即为我们所需的误差信号矩阵[^2]。