谱范数也称为矩阵2范数,为什么这样说,这样二者还有区别吗
时间: 2024-06-19 18:04:20 浏览: 30
谱范数,也称为矩阵2范数,是一种用于衡量矩阵的大小的范数。它定义为矩阵的最大奇异值,也就是矩阵的特征值的平方根的最大值。因此,它可以用来衡量矩阵的伸缩性。
与之相对,矩阵1范数和矩阵F范数分别衡量矩阵列向量绝对值之和和矩阵元素平方和的平方根。与这些范数不同,谱范数关注的是矩阵的特征值,因此更适用于描述矩阵伸缩性和线性变换的效果。
需要注意的是,矩阵2范数和谱范数是同一概念,这两个术语是等价的。
相关问题
矩阵2范数和谱范数啥关系
矩阵2范数和谱范数都是用来衡量矩阵大小的指标,但它们的计算方式不同。
矩阵2范数(也称为矩阵的Frobenius范数)是将矩阵中所有元素的平方和开平方,即 $||A||_F = \sqrt{\sum_{i,j}a_{ij}^2}$。它可以看做是将矩阵展开为一个向量后的欧几里得范数。
而谱范数(也称为矩阵2范数或者算子范数)是指矩阵的最大奇异值,即 $||A||_2 = \sigma_{\max}(A)$。它可以看做是将矩阵看作一个线性变换后的最大缩放因子。
因此,两者有一定的关系,即 $||A||_2 \leq ||A||_F \leq \sqrt{n} ||A||_2$,其中 $n$ 是矩阵的维度。具体而言,由于 $||A||_F$ 考虑了矩阵所有元素的大小,因此一般来说 $||A||_F$ 比 $||A||_2$ 更大;而 $||A||_2$ 考虑的是矩阵的线性变换性质,因此更能反映矩阵的重要信息。
矩阵的谱范数为什么是特征值开方
矩阵的谱范数是矩阵所有特征值的平方和的平方根,即$\left\|A\right\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n\lambda_i^2}$,其中$\lambda_i$表示矩阵$A$的第$i$个特征值。
证明如下:
对于一个$n$维向量$x$,我们有:
$$
Ax=\lambda x
$$
两边同时取范数,得到:
$$
\left\|A\right\|\left\|x\right\|=\left\|\lambda x\right\|=
\left|\lambda\right|\left\|x\right\|
$$
因为$\left\|x\right\|\neq0$,所以有:
$$
\left\|A\right\|=\left|\lambda\right|\frac{\left\|x\right\|}{\left\|x\right\|}=\left|\lambda\right|
$$
因此,矩阵$A$的谱范数等于其特征值的绝对值的最大值,即:
$$
\left\|A\right\|_2=\max_{1\leq i\leq n} \left|\lambda_i\right|
$$
对于实对称矩阵,由于其特征值是实数,所以谱范数等于特征值的最大值,即:
$$
\left\|A\right\|_2=\max_{1\leq i\leq n} \lambda_i
$$
对于正定矩阵,其所有特征值都是正数,因此谱范数等于特征值的最大值,即:
$$
\left\|A\right\|_2=\max_{1\leq i\leq n} \lambda_i
$$
由于特征值是矩阵的一个重要性质,因此矩阵的谱范数也常常用特征值来表示,即$\left\|A\right\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$。
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