给出一棵树求它的最小点覆盖集。 最小点集覆盖指选取最少数量的点,每个被选取的点覆盖其相连的边,使得树上所有的边被完全覆盖。
时间: 2024-04-17 09:25:01 浏览: 21
对于一棵树,最小点覆盖集可以通过以下方式求解:
1. 对于每个节点,有两种情况:
a. 如果选择了该节点,则其相邻的节点不能被选择,因为选择了该节点就相当于覆盖了与其相邻的边。
b. 如果不选择该节点,则需要选择其所有相邻的节点,以确保覆盖与该节点相邻的边。
2. 可以使用递归或动态规划来求解最小点覆盖集问题。
下面是一个使用递归的算法示例:
```python
def min_vertex_cover(root):
if root is None:
return []
# 如果选择了该节点,那么需要选择其所有子节点
selected = [root] + [min_vertex_cover(child) for child in root.children]
# 如果不选择该节点,那么需要选择其所有子节点的子节点
not_selected = [min_vertex_cover(child) for child in root.children]
# 根据选择的节点数量返回较小的点覆盖集
if len(selected) <= len(not_selected):
return selected
else:
return not_selected
```
这个算法首先处理根节点,然后递归处理每个子节点。最后返回点覆盖集中较小的那个。
希望能帮到你!如果还有其他问题,请随时提问。
相关问题
给出一棵树求它的最小点覆盖集。 最小点集覆盖指选取最少数量的点,每个被选取的点覆盖其相连的边,使得树上所有的边被完全覆盖。c++代码实现
以下是使用C++实现求树的最小点覆盖集的代码:
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
vector<int> tree[MAXN];
bool visited[MAXN];
bool isCovered[MAXN];
// 深度优先搜索遍历树
void dfs(int node) {
visited[node] = true;
isCovered[node] = false;
for (int i = 0; i < tree[node].size(); i++) {
int child = tree[node][i];
if (!visited[child]) {
dfs(child);
isCovered[node] |= !isCovered[child]; // 更新节点是否被覆盖
}
}
}
// 求最小点覆盖集
vector<int> minVertexCover(int n) {
memset(visited, false, sizeof(visited));
memset(isCovered, false, sizeof(isCovered));
dfs(1); // 从根节点开始遍历
vector<int> vertexCover;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (isCovered[i]) {
vertexCover.push_back(i);
}
}
return vertexCover;
}
int main() {
int n;
cout << "输入树的节点数: ";
cin >> n;
cout << "输入树的边数: ";
int m;
cin >> m;
cout << "输入树的边: " << endl;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
tree[u].push_back(v);
tree[v].push_back(u);
}
vector<int> vertexCover = minVertexCover(n);
cout << "最小点覆盖集为: ";
for (int i = 0; i < vertexCover.size(); i++) {
cout << vertexCover[i] << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}
```
输入示例:
```
输入树的节点数: 6
输入树的边数: 5
输入树的边:
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
```
输出示例:
```
最小点覆盖集为: 1 4 5 6
```
这是一个简单的深度优先搜索(DFS)算法的应用,通过遍历树来判断每个节点是否被覆盖,然后返回最小点覆盖集。
点集最小圆覆盖python
要找到一个点集的最小圆覆盖,可以使用 Welzl 算法。下面是一个用 Python 实现的示例代码:
```python
import random
import math
# 计算两个点之间的距离
def distance(p1, p2):
return math.sqrt((p1[0] - p2[0]) ** 2 + (p1[1] - p2[1]) ** 2)
# 检查点是否在圆内
def in_circle(circle, point):
center, radius = circle
return distance(center, point) <= radius
# Welzl 算法的递归实现
def welzl(points, boundary):
if len(points) == 0 or len(boundary) == 3:
if len(boundary) == 3:
return boundary
elif len(boundary) == 2:
circle = (tuple([(boundary[0][0] + boundary[1][0]) / 2, (boundary[0][1] + boundary[1][1]) / 2]), distance(boundary[0], boundary[1]) / 2)
return circle
else:
return None
random_point = random.choice(points)
points.remove(random_point)
circle = welzl(points, boundary)
if circle is not None and in_circle(circle, random_point):
return circle
new_boundary = boundary.copy()
new_boundary.append(random_point)
return welzl(points, new_boundary)
# 使用Welzl算法找到最小圆覆盖
def min_circle_cover(points):
random.shuffle(points)
return welzl(points, [])
# 测试代码
points = [(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1), (0.5, 0.5)]
circle = min_circle_cover(points)
print(f"圆心坐标: {circle[0]}")
print(f"半径: {circle[1]}")
```
这段代码使用了 Welzl 算法来计算点集的最小圆覆盖。首先定义了两个辅助函数:`distance`用于计算两个点之间的距离,`in_circle`用于判断一个点是否在圆内。
然后实现了 Welzl 算法的递归函数 `welzl`,该函数根据输入的点集和边界点列表进行递归计算。在每一步递归中,随机选择一个点并将其从点集中移除,然后继续递归计算。递归的结束条件是点集为空或者边界列表长度为3(即三个点可以确定一个圆)。
最后,定义了 `min_circle_cover` 函数,该函数对点集进行随机打乱后调用 `welzl` 函数来找到最小圆覆盖。
在测试代码中,使用了一个简单的点集进行测试,并打印出最小圆覆盖的圆心坐标和半径。你可以根据自己的需要修改测试代码和输入的点集。
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