根据最优 PID 控制器参数整定经验公式求取最优 PID 控制器，并绘制在所求 PID 控制器下的阶跃响应曲线

### 计算最优PID控制器参数

对于求取最优PID控制器参数，通常采用经验公式法。Ziegler-Nichols法则是一种广泛接受的方法之一[^1]。此方法分为两种模式：一种是在开环条件下操作；另一种则基于临界振荡特性。

#### 开环调节方式的经验公式
当系统处于稳定状态时，可以应用以下经验公式来估算初始的PID增益：

- \( K_p = 0.9T / L \)
- \( T_i = 3L \)
- \( T_d = L/4 \)

这里\( T \)代表系统的放大系数，而\( L \)则是延迟时间常数[^2]。

为了更精确地找到适合特定应用场景的最佳参数组合，在初步设定之后还需要经过多次试验微调这些数值直到获得满意的性能表现为止。

### 绘制阶跃响应曲线

一旦确定了合适的PID参数，就可以构建相应的控制系统模型并通过仿真软件如MATLAB/Simulink或Python中的SciPy库来进行动态行为的研究。以下是使用Python及其科学计算生态系统的具体做法：

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义传递函数G(s)=Y(s)/U(s)，假设为一阶惯性环节加纯滞后形式
numerator = [1]
denominator = [1, 5]

sys_tf = signal.TransferFunction(numerator, denominator)

# 设计PID控制器
kp = 0.9 * (1 / 5)  
ti = 3 * 5      
td = 5 / 4       
controller_tf = signal.TransferFunction([kd*td, kd*(tp+td), kp], [1])

# 创建闭环系统
closed_loop_sys = signal.feedback(controller_tf * sys_tf, 1)

t, y = signal.step(closed_loop_sys)

plt.figure()
plt.plot(t, y)
plt.title('Step Response')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
plt.show()

这段代码首先定义了一个简单的线性时不变(LTI)被控对象作为例子，接着按照之前提到的经验公式设置了PID控制器的比例、积分和微分项，并最终形成了整个反馈回路结构。通过`signal.step()`函数获取到了单位阶跃输入下输出随时间变化的数据序列，进而借助Matplotlib完成了可视化工作。