二维泊松方程 函数matlab

二维泊松方程是一个描述电场、温度分布或其他扩散过程的偏微分方程，它的基本形式为：

∇²φ(x, y) = f(x, y)

其中，φ(x, y)是需要求解的函数，通常表示场的强度，∇²是拉普拉斯算子，f(x, y)是给定的源项。在MATLAB中，可以使用数值方法如有限差分法（Finite Difference Method, FDM）或者边界元素方法（Boundary Element Method, BEM）求解这个方程。

下面是一个简单的示例，使用FDM在MATLAB中解决二维泊松方程：

% 定义网格尺寸和源项
Lx = 1; Ly = 1;
dx = dy = 0.01; % 步长
[X, Y] = meshgrid(0:Lx/dx,Ly/dy); % 创建网格点

% 假设源项f(x,y)
f = ones(size(X));

% 使用五点中心差分法计算导数
Dxx = (1./dx^2)*(4 - 2*(ones(1, size(X, 2)) + X));
Dyy = (1./dy^2)*(4 - 2*(ones(size(X), 1) + Y'));

% 求解泊松方程
phi = sparse(Dxx + Dyy, [], f, [size(X, 2)+1, size(Y, 2)+1]);
phi = spdiags([ones(size(X, 2), 1) zeros(size(X, 2), 1) ones(size(X, 2), 1)], [-1 0 1], size(X, 2)+1, size(Y, 2)+1) \ phi;

% 打印结果
contourf(X, Y, phi);
colorbar;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('二维泊松方程的解');