眼在手外手眼标定原理

### 手眼标定原理

手眼标定涉及确定相机与机械臂之间的相对位置和姿态，这对于机器人视觉引导的机械臂操作至关重要。具体来说，在手眼标定过程中，主要目标是找到摄像机相对于机械臂末端执行器的位置和方向。

对于两种典型的手眼配置，“Eye-in-hand”模式意味着摄像头安装于机械臂末端执行器上；而“Eye-to-hand”则指摄像头固定不动，通常位于工作空间外部观察整个场景[^2]。在“Eye-in-hand”的情况下，随着机械臂移动，摄像机会随之改变视角，因此需要解决的是摄像机与末端执行器间的刚体变换关系。

为了实现这一点，通常采用的方法是在已知几何形状的目标物前放置机械臂，并记录不同姿势下的图像数据以及对应的关节角度信息。通过这些配对的数据集，利用算法估计出所需的转换参数。此过程涉及到求解一系列齐次方程组，最终获得描述两者之间精确关联性的矩阵[^1]。

#### 关键概念解释

- **变换A**: 表示机械臂末端在基座坐标系中的位姿，这可以通过解析运动学模型（例如使用Denavit-Hartenberg(DH) 参数法）来计算得出。实际应用中可通过读取机器人的示教器上的欧拉角数值进而得到该变换矩阵。

- **手眼约束方程**: 对于每一对观测值（即特定时刻的图像特征点及其对应的世界坐标），存在一个联系着摄像机内参、外参及物体真实坐标的线性方程。当积累足够的样本后，便能构建起一组超定方程用于优化求解未知变量——也就是我们要找寻的那个固定的旋转平移向量。

import numpy as np
from scipy.spatial.transform import Rotation as R

def compute_hand_eye_transform(T_base_to_tool, T_world_to_target):
    """
    计算手眼标定所需的基础变换
    
    :param T_base_to_tool: 基础到工具端的变换矩阵列表 (4x4)
    :param T_world_to_target: 世界坐标系至目标点的变换矩阵列表(4x4)
    
    返回:
        H: 描述摄像机与末端执行器间关系的变换矩阵 (4x4)
    """
    n = len(T_base_to_tool)
    A = []
    B = []

    for i in range(n):
        Ai = np.dot(np.linalg.inv(T_base_to_tool[i]), T_world_to_target[i])
        Bi = np.dot(Ai, np.linalg.inv(T_world_to_target[0]))
        
        A.append(Ai[:3,:].flatten())
        B.append(Bi[:3,:].flatten())

    # 构建并求解最小二乘问题
    X = np.vstack((np.array(A), -np.eye(9)))
    Y = np.hstack((-np.array(B).reshape(-1,), np.zeros(9)))

    U, s, Vt = np.linalg.svd(X.T @ X)
    solution = Vt[-1]

    rvec = solution[:3]
    tvec = solution[3:]

    rotation_matrix = R.from_rotvec(rvec).as_matrix()
    translation_vector = tvec.reshape((3,1))

    H = np.block([[rotation_matrix,translation_vector],[np.zeros((1,3)),1]])
    
    return H