给定一个整数n,计算所有小于等于n的非负整数中数字1出现的个数

要计算所有小于等于 `n` 的非负整数中数字 `1` 出现的次数，你可以使用动态规划的方法。我们可以定义一个数组 `dp`，其中 `dp[i]` 表示从 `0` 到 `i` 这些非负整数中数字 `1` 出现的总次数。数组的初始值设置为 `0`，因为 `0` 中没有 `1`。

然后对于每个 `i`（从 `1` 到 `n`），我们有两种选择：

1. 如果 `i` 以 `0` 结尾，那么 `dp[i] = dp[i - 1]`，因为我们添加了一个不包含 `1` 的数字。
2. 如果 `i` 以 `1` 或者其他的数字（除了 `0`）结尾，那么 `dp[i] = dp[i - 1] + 1`，因为我们添加了一个包含 `1` 的数字。

算法的主要步骤如下：

int countOnes(int n) {
    if (n == 0) return 0;
    vector<int> dp(n + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (i % 10 != 0) // 如果不是以0结尾
            dp[i] = dp[i - 1] + 1;
    }
    return dp[n];
}

这个函数的时间复杂度是 O(n)，因为它遍历了从 `1` 到 `n` 的所有整数。空间复杂度也是 O(n)，用于存储 `dp` 数组。

相关问题

给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。这个题用数位dp如何写

对于这个题目，可以使用数位 DP 的思想进行求解。以下是一个使用数位 DP 解决计算整数中数字 1 出现个数的示例代码：

def countDigitOne(n):
    if n <= 0:
        return 0
    
    num = str(n)
    length = len(num)
    
    dp = [0] * length
    dp[0] = int(num[0]) >= 1
    
    for i in range(1, length):
        if int(num[i]) >= 1:
            dp[i] += dp[i-1] + int(num[:i]) * pow(10, length-i-1)
        else:
            dp[i] += dp[i-1]
    
    return dp[-1] + 1

n = 13
count = countDigitOne(n)
print(count)

在这个示例代码中，我们首先将整数 n 转换为字符串，并获取它的长度。然后创建一个长度为 n 的数组 dp，用于记录每一位数字 1 出现的次数。

接下来进行数位 DP 的计算，从最高位开始遍历到最低位。对于每一位 i：

- 如果当前数字大于等于 1，那么该位数字 1 出现的次数为 dp[i-1]（前面的数字出现的次数）加上当前位之前的数字（即 num[:i]）乘以 10 的 (length-i-1) 次幂。
- 如果当前数字等于 0，那么该位数字 1 出现的次数只需等于 dp[i-1]。

最后，将 dp 数组的最后一个元素（即总的数字 1 出现的次数）加上 1，即为所求的结果。

对于输入 n = 13，运行示例代码得到的结果为 6，表示小于等于 13 的非负整数中数字 1 出现的次数为 6。

说明 给定整数 n ，返回 所有小于等于非负整数 n 的质数的数量 。（ 0 <= n <= 5 * 106 ） 输入格式 一个整数n 输出格式 小于等于n的质数的个数 样例 输入数据 1 10 输出数据 1 4

这是一个编程问题，涉及查找并计算指定范围内质数的数量。**问题背景**：给定一个非负整数 `n`，需要编写算法找出所有不超过 `n` 的质数，然后返回这些质数的个数。**算法概述**：
1. **埃拉托斯特尼筛法**：这是一种常见的寻找一定范围内质数的有效算法。从2开始，将每个找到的质数的所有倍数标记为合数，直到达到 `sqrt(n)`。剩下的未被标记的数字就是质数。
2. **边界处理**：对于较小的 `n`，可以直接枚举判断是否为质数，因为这样效率更高。
3. **优化**：由于题目限制 `n` 最大值为 `5 * 10^6`，可以先尝试用简单的方法处理小范围，再切换到更高效的筛选算法。

**Python 示例**：

def count_primes(n):
    if n < 2: return 0
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0], is_prime[1] = False, False
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i*i, n+1, i): # 埃拉托斯特尼筛法
                is_prime[j] = False
    return sum(is_prime)

**示例输出**：
输入 `count_primes(1)` 返回 `1`，因为只有一个质数1。
输入 `count_primes(10)` 返回 `4`，因为10范围内的质数是2, 3, 5, 7。

**相关问题--**:
1. 除了埃拉托斯特尼筛法，还有哪些算法可以用于找质数？
2. 当n非常大时，如何优化这个函数以提高性能？
3. 如果题目要求找到所有的质数而不是计数，应该如何修改这个函数？