卡诺循环中，两个循环过程处于同样两条绝热线之间，且低温热源温度相等，则工作物质向低温热源放热相同用公式证明

卡诺循环是一个理论上的热力学循环过程，包含四个过程：两个等温过程和两个绝热过程。假设这个卡诺循环中的工质是一个可逆气体，并且循环过程中工质的体积、温度、压力等参数都可以进行精确控制。

首先，考虑循环的两个等温过程。这两个过程的温度分别为高温热源的温度 $T_H$ 和低温热源的温度 $T_L$。根据卡诺循环的定义，这两个过程中，工质的内能不变，因此可以使用理想气体状态方程来描述这两个过程：

$$
pV = nRT_H \qquad (1)
$$

$$
p'V' = n'R'T_L \qquad (2)
$$

其中，$p$ 和 $V$ 是高温等温过程中工质的压力和体积，$p'$ 和 $V'$ 是低温等温过程中工质的压力和体积，$n$ 和 $n'$ 是工质的摩尔数，$R$ 是气体常数，$T_H$ 和 $T_L$ 分别是高温和低温的温度，$R' = R$ 是因为工质不变。

接下来，考虑循环的两个绝热过程。由于这两个过程是绝热过程，在这两个过程中，工质不会发生热量的交换，因此可以使用绝热气体状态方程来描述这两个过程：

$$
pV^\gamma = C \qquad (3)
$$

$$
p'V'^\gamma = C' \qquad (4)
$$

其中，$\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ 是工质的绝热指数，$C$ 和 $C'$ 是两个绝热过程中的常数。

根据卡诺循环的定义，这个循环是一个可逆循环，因此这个循环的效率 $\eta$ 等于等温过程中的热量交换量与等温过程中的热量吸收量之比，即：

$$
\eta = \frac{Q_H - Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} \qquad (5)
$$

其中，$Q_H$ 和 $Q_L$ 分别是高温热源和低温热源与工质的热量交换量，可以用下面的公式计算：

$$
Q_H = nC_p(T_H - T_L) \qquad (6)
$$

$$
Q_L = nC_v(T_H - T_L) \qquad (7)
$$

其中，$C_p$ 和 $C_v$ 分别是工质的定压热容和定容热容。

将公式 $(6)$ 和 $(7)$ 代入公式 $(5)$，并将公式 $(1)$ 和 $(2)$ 代入公式 $(6)$ 和 $(7)$，可以得到：

$$
\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H} \qquad (8)
$$

现在需要证明的是，当两个循环过程处于同样两条绝热线之间，且低温热源温度相等时，工作物质向低温热源放热相同。

假设这个卡诺循环中的两个绝热过程所对应的两条绝热线的斜率分别为 $k_1$ 和 $k_2$，则两条绝热线的方程可以表示为：

$$
V = \left(\frac{C}{p}\right)^{\frac{1}{\gamma}} \qquad (9)
$$

$$
V' = \left(\frac{C'}{p'}\right)^{\frac{1}{\gamma}} \qquad (10)
$$

其中，$C$ 和 $C'$ 是两个绝热过程中的常数。

由于这两个过程处于同样两条绝热线之间，因此这两条绝热线的斜率相等，即 $k_1 = k_2$。根据绝热线的性质，可以得到：

$$
\frac{p}{p'} = \left(\frac{V'}{V}\right)^\gamma = \left(\frac{C'}{C}\right)^{\frac{\gamma}{2}} \qquad (11)
$$

将公式 $(1)$ 和 $(2)$ 代入公式 $(11)$，可以得到：

$$
\frac{T_H}{T_L} = \frac{p'}{p} = \left(\frac{C}{C'}\right)^{\frac{\gamma}{2}} \qquad (12)
$$

将公式 $(8)$ 和 $(12)$ 相除，可以得到：

$$
\frac{\eta}{1 - \eta} = \frac{T_H}{T_L} = \left(\frac{C}{C'}\right)^{\frac{\gamma}{2}} \qquad (13)
$$

由于工质是可逆的，因此这个循环的效率是最大的，即 $\eta = \frac{T_H - T_L}{T_H}$。将这个式子代入公式 $(13)$ 中，可以得到：

$$
\frac{T_H - T_L}{T_H - T_L - T_H\eta} = \left(\frac{C}{C'}\right)^{\frac{\gamma}{2}} \qquad (14)
$$

由于这个卡诺循环中的两个等温过程的温度相等，因此工质的内能不变，即 $C = C'$。将这个式子代入公式 $(14)$ 中，可以得到：

$$
\frac{T_H - T_L}{T_H - T_L - T_H\eta} = 1 \qquad (15)
$$

将公式 $(15)$ 进一步化简，可以得到：

$$
\frac{T_H\eta}{T_L} = \eta \qquad (16)
$$

因为低温热源的温度相等，所以 $T_L$ 是一个常数。因此，公式 $(16)$ 的意义是，卡诺循环中的效率与高温热源的温度成正比，即 $\eta \propto T_H$。这意味着，当高温热源的温度变化时，卡诺循环的效率也会相应地变化。

最后，根据公式 $(6)$ 和 $(7)$，可以得到：

$$
\frac{Q_L}{n} = C_v(T_H - T_L) = \frac{Q_H}{n} \qquad (17)
$$

这个式子的意义是，在卡诺循环中，工质向低温热源放出的热量等于工质从高温热源吸收的热量，因此工质向低温热源放出的热量相同。证毕。