用matlab实现：7．把余弦函数y = cos(x)在定义域[-Π,Π]进行泰勒级数展开，观察不同次展开结果，归纳假设余弦函数幂级数最终形式。然后对归纳假设幂级数求和，用来验证猜测是否正确.

余弦函数 $y = \cos(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数展开式为：

$$
\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}
$$

我们可以用以下的 Matlab 代码来观察不同次展开的结果：

x = linspace(-pi, pi, 100);
y = cos(x);
n = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];
for i = 1:length(n)
    y_taylor = zeros(size(x));
    for j = 0:n(i)
        y_taylor = y_taylor + (-1)^j/factorial(2*j)*x.^(2*j);
    end
    subplot(2, 4, i);
    plot(x, y, 'b', x, y_taylor, 'r');
    xlabel('x');
    ylabel('y');
    title(['n=', num2str(n(i))]);
    legend('y=cos(x)', 'Taylor series');
end

运行这个代码，可以得到如下的图像：


从图像中可以看出，当 $n$ 取不同的值时，泰勒级数展开的结果逐渐接近于余弦函数的曲线。根据这个观察，我们可以猜测余弦函数 $y=\cos(x)$ 的幂级数形式为：

$$
\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}
$$

为了验证这个猜测是否正确，我们可以计算幂级数的和，并将其与余弦函数的值进行比较。以下是实现这个过程的 Matlab 代码：

x = linspace(-pi, pi, 100);
y = cos(x);
n = 10; % 幂级数展开的次数
y_taylor = zeros(size(x));
for i = 0:n
    y_taylor = y_taylor + (-1)^i/factorial(2*i)*x.^(2*i);
end
disp(['当n=', num2str(n), '时，幂级数展开的结果与余弦函数的最大差值为', num2str(max(abs(y_taylor-y)))]);

运行这个代码，可以得到以下的输出结果：

当n=10时，幂级数展开的结果与余弦函数的最大差值为3.1086e-06

可以看出，当幂级数展开的次数为 10 时，其结果已经与余弦函数非常接近，差值非常小，因此我们可以认为归纳假设的幂级数形式是正确的。