高斯赛德尔迭代与雅克比迭代的比较

高斯赛德尔迭代和雅克比迭代都是求解线性方程组的迭代方法。它们的区别在于迭代的方式不同。

1. 高斯赛德尔迭代

高斯赛德尔迭代是按照顺序，每次使用已知的最新的元素来更新未知元素。具体来说，对于 Ax=b 这个线性方程组，高斯赛德尔迭代的迭代公式为：

$$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}(b_i - \sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}) $$

其中，$i=1,2,\cdots,n$，$k$ 为迭代次数，$x_i^{(k+1)}$ 表示第 $k+1$ 次迭代后第 $i$ 个未知数的值，$a_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，$b_i$ 表示向量 $b$ 的第 $i$ 个元素。

高斯赛德尔迭代需要从 $x_i^{(k)}$ 开始迭代，当 $i=1$ 时，使用已知的 $x_2^{(k)},x_3^{(k)},\cdots,x_n^{(k)}$ 来计算 $x_1^{(k+1)}$；当 $i=2$ 时，使用已知的 $x_1^{(k+1)},x_3^{(k)},\cdots,x_n^{(k)}$ 来计算 $x_2^{(k+1)}$；以此类推。

2. 雅克比迭代

雅克比迭代是同时更新所有未知元素。具体来说，对于 Ax=b 这个线性方程组，雅克比迭代的迭代公式为：

$$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}(b_i - \sum_{j=1,j\neq i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}) $$

其中，$i=1,2,\cdots,n$，$k$ 为迭代次数，$x_i^{(k+1)}$ 表示第 $k+1$ 次迭代后第 $i$ 个未知数的值，$a_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，$b_i$ 表示向量 $b$ 的第 $i$ 个元素。

雅克比迭代需要从 $x_i^{(k)}$ 开始迭代，当 $i=1$ 时，使用已知的 $x_1^{(k)},x_2^{(k)},\cdots,x_n^{(k)}$ 来计算 $x_1^{(k+1)}$；当 $i=2$ 时，使用已知的 $x_1^{(k+1)},x_2^{(k)},\cdots,x_n^{(k)}$ 来计算 $x_2^{(k+1)}$；以此类推。

两种方法的主要区别在于更新未知元素的顺序不同。高斯赛德尔迭代每次只更新一个未知元素，但是每次更新后可以马上使用最新的值来更新下一个未知元素，所以收敛速度比较快。而雅克比迭代每次更新所有未知元素，但是需要等到所有未知元素的值都更新完毕后才能使用最新的值来更新下一次迭代，所以收敛速度比较慢。但是，雅克比迭代可以并行计算，所以适用于多核处理器等并行计算平台。