雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法代码

雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都是用于求解线性方程组的数值方法。它们通常用于解决大规模稀疏矩阵的问题。

**雅可比迭代法**（也称直接解法）是一种基于方程组导数的迭代过程。假设有一个线性系统 \(Ax = b\)，其中 \(A\) 是系数矩阵，\(x\) 是未知向量，\(b\) 是常数项。雅可比迭代法通过构建并求解 \(J(A)x^{(k+1)} = b - Ax^{(k)}\) 来迭代逼近解，其中 \(J(A)\) 是 \(A\) 的雅可比矩阵（即对 \(A\) 按元素求导后的矩阵）。每一步迭代都要求计算雅可比矩阵乘以当前猜测值，这在矩阵非常大或非对角占优时效率较低。

**高斯-赛德尔迭代法**（Gauss-Seidel method）也是一种迭代求解线性方程组的方法，但它采用分块的方式更新每个变量。算法每次只考虑部分已知的变量值来更新下一个变量，顺序通常是自左到右、自上而下。高斯-赛德尔通常适用于对角占优矩阵，因为它在每个步骤中使用了更精确的信息。

以下是简单的Python代码示例（仅适用于一维情况，实际应用需处理多维数组）：

import numpy as np

def jacobian_iterate(A, b, x0, tolerance=1e-6):
    def jacobi(A, x):
        return A @ x
    
    x = x0.copy()
    delta = float('inf')
    
    while delta > tolerance:
        old_x = x
        x = jacobi(A, (b - A @ x) / A.diagonal())
        delta = np.linalg.norm(x - old_x)
        
    return x

def gauss_seidel(A, b, x0, tolerance=1e-6):
    n = len(b)
    for i in range(n):
        if i == 0:
            for k in range(i + 1, n):
                b[i] -= A[i, k] * x0[k]
        else:
            for k in range(i):
                b[i] -= A[i, k] * x0[k]
        
        x0[i] = (b[i] - sum(A[i, j] * x0[j] for j in range(i))) / A[i, i]
        
    return x0

# 使用示例：
A = np.array([[4, 1], [1, 3]])
b = np.array([5, 7])
x0 = np.zeros_like(b)

jacobi_solution = jacobian_iterate(A, b, x0)
gs_solution = gauss_seidel(A, b, x0)

print("雅可比迭代法结果:", jacobi_solution)
print("高斯-赛德尔迭代法结果:", gs_solution)