使用Julia语言编写完整程序用 LU 分解法给出下列代数方程组的解及 L 和 U 矩阵： { 2𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 = 3 4𝑥1 + 7𝑥2 + 7𝑥3 = 1 −2𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 = −7

在 Julia 中，我们可以使用 `LinearAlgebra` 包提供的 `lu` 函数来进行 LU 分解，并通过 `solve` 函数求解线性方程组。首先，我们需要创建一个矩阵 `A` 表示给定的系数矩阵，然后将常数项向量 `b` 转化为列向量。下面是一个完整的程序来完成这个任务：

using LinearAlgebra

# 给定的方程组系数矩阵 A 和常数项向量 b
A = [2 3 3;
     4 7 7;
    -2 4 5]
b = [3;
     1;
   -7]

# 进行 LU 分解
(A_LU, P) = lu(A)

# 检查分解是否成功（P 是用于交换的 PermutationMatrix）
println("LU 分解成功: ", det(A_LU) == det(A))

# 计算 L 矩阵 (左侧矩阵)
L = P * A_LU

# 计算 U 矩阵 (右侧矩阵)
U = tril(L)

# 使用 LU 分解求解线性方程组
x = solve(U', b)

# 输出结果
println("\n方程组的解:")
display(x)

# 输出 L 和 U 矩阵
println("\nL 矩阵:")
display(L)
println("\nU 矩阵:")
display(U)