可以给我出一道极限的基础题吗?(附带个答案)
时间: 2023-08-31 18:24:11 浏览: 54
### 回答1:
当 $x$ 趋近于 $0$ 时,$\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ 的极限是多少?
答案:$\frac{1}{\sqrt{2}}$。
解析:我们可以通过有理化的方式来求解这个极限。具体做法为:
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} &= \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}\\
&= \lim_{x\to 0}\frac{1+x-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}\\
&= \lim_{x\to 0}\frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}\\
&= \lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\\
&= \frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}\\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{aligned}
$$
因此,原极限的值为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。
### 回答2:
当然可以!下面是一道极限的基础题:
给定函数f(x) = 2x + 3,求极限lim(x→1) f(x)的值。
解答:
要求lim(x→1) f(x),即要求当x无限接近1时,f(x)的极限值。
根据给定的函数f(x) = 2x + 3,将x代入函数表达式得到:
f(x) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
因此,求得lim(x→1) f(x) = 5。
这道题目是一道基础的极限题,只需要将变量x代入给定的函数表达式,计算得到结果即可。
### 回答3:
当然可以!以下是一道极限的基础题:
题目:计算极限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$。
解答:首先,我们注意到在$x=1$时,分母为0,因此该极限存在。为了计算这个极限,我们可以尝试对分式进行因式分解。
分子 $x^2 - 1$ 是一个差平方,可以写成 $(x - 1)(x + 1)$。
因此,原极限可以被重写为 $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$。
现在,我们可以去除分式中的公因式 $(x - 1)$,得到 $\lim_{x \to 1} (x + 1)$。
由于此时分式中不再有未知数 $x$,我们可以直接将$x$代入,得到 $\lim_{x \to 1} (1 + 1) = \lim_{x \to 1} 2 = 2$。
因此,所给极限的值是2。
希望这道题能够对你有所帮助!如果还有其他问题,欢迎随时提出。
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