（12）有一个由数字1，2，…，9组成的数字串，长度不超过200，问如何将M（1≤M≤20）个加号插入这个数字串中，使得所形成的算法表达式的值最小。 的算法思路

这道题可以使用动态规划算法，设 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中插入 $j$ 个加号所能得到的最小值，则可以得到状态转移方程：

$dp[i][j] = \min(dp[k][j-1] + cost(k+1, i))$

其中 $cost(l, r)$ 表示将数字串中从第 $l$ 位到第 $r$ 位组成的数相加所得到的值，$k$ 的范围是从 $j-1$ 到 $i-1$。

最终的答案就是 $dp[n][m]$，其中 $n$ 是数字串的长度。

时间复杂度为 $O(n^3m)$，可以通过此题。

相关问题

有一个由数字1，2，…….9组成的数字串长度不超过200问如何将m个加号插入到这个数字串中，使所形成的算术表达式的值最小

这是一个经典的问题，可以使用贪心算法来解决。

首先，我们可以将数字串按照从左到右的顺序依次分组，每组的长度为1、2、3、...、9，对于长度不足9的最后一组，可以在末尾补0使其长度为9。

然后，我们考虑如何将m个加号插入到这些组之间。因为我们希望所形成的算术表达式的值最小，所以我们应该尽可能让相邻的数字组合并得更大。因此，我们可以使用贪心的思想，每次在长度大于1的数字组之间插入一个加号，直到插满m个加号为止。

具体地，我们可以先将所有数字组按照长度从小到大排序，然后从长度为2的数字组开始，依次插入加号，直到没有剩余的加号或者所有数字组都已经插入了加号。如果还有剩余的加号，则继续从长度为3的数字组开始插入，直到所有加号都被插入为止。

最后，我们将插入了加号的数字组按照插入的顺序组合成一个算术表达式，即可得到所求的最小值。

代码如下：

有一个由数字1，2，…，9组成的数字串，长度不超过200，问如何将M（1≤M≤20）个加号插入这个数字串中，使得所形成的算法表达式的值最小

这是一个经典的动态规划问题，可以用类似背包问题的思路来解决。具体来说，可以用一个二维数组f[i][j]来表示前i个数字插入j个加号后所得到的最小值，状态转移方程如下：

f[i][j] = min{f[k][j-1] + cost(k+1,i)}

其中，cost(k+1,i)表示从第k+1个数字到第i个数字组成的数字串转化为整数所需要的代价，即cost(k+1,i) = value[k+1][i]，其中value[k+1][i]表示从第k+1个数字到第i个数字组成的数字串所表示的整数。

初始化时，f[i][0] = value[1][i]，即不插入加号的情况。最终结果为f[n][m]，其中n为数字串的长度。

Java代码如下：

public class NumberString {
    public static int getMinValue(String s, int m) {
        int n = s.length();
        int[][] f = new int[n+1][m+1];
        int[][] value = new int[n+1][n+1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int num = 0;
            for (int j = i; j < n; j++) {
                num = num * 10 + (s.charAt(j) - '0');
                value[i+1][j+1] = num;
            }
        }
        // 初始化
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            f[i][0] = value[1][i];
        }
        // 状态转移
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            for (int i = j+1; i <= n; i++) {
                f[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = j; k < i; k++) {
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[k][j-1] + value[k+1][i]);
                }
            }
        }
        // 最终结果
        return f[n][m];
    }
}

其中，s是数字串，m为插入的加号数，调用getMinValue方法即可得到最小值。