多元 离散选择模型Probit回归 带截距和预测的C++带类的完整正确实现，要保证预测结果的正确，及可以得到正确结果的案例 非其它库支持，要保证结果的正确性

好的，我可以帮你实现这个模型。首先，Probit回归是一种多元离散选择模型，它的基本思想是假设潜在的连续变量$y$服从标准正态分布$N(0,1)$，然后将$y$转化为一个二元变量$y^*$，$y^*=1$表示$y>0$，$y^*=0$表示$y\leq0$。这个转化可以用Probit函数来实现，Probit函数的定义为：

$$
\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt
$$

其中$\Phi(x)$表示标准正态分布的累积分布函数。Probit回归就是在给定自变量的情况下，估计因变量$y^*$的概率，即：

$$
P(y^*=1|x)=\Phi(\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_kx_k)
$$

其中$k$表示自变量的个数，$\beta_0,\beta_1,...,\beta_k$是回归系数，$x_1,x_2,...,x_k$是自变量的取值。

为了实现这个模型，我会用C++编写一个ProbitRegression类，它包含以下成员变量和成员函数：

class ProbitRegression {
private:
    int n; // 样本数
    int k; // 自变量个数
    vector<double> y; // 因变量
    vector<vector<double>> X; // 自变量

    vector<double> beta; // 回归系数
    double sigma; // 模型标准差

    double probit(double x); // Probit函数
    double likelihood(); // 似然函数
    void gradient(vector<double>& grad); // 梯度向量
    void hessian(vector<vector<double>>& hes); // 海森矩阵

public:
    ProbitRegression(); // 默认构造函数
    ProbitRegression(int n, int k); // 带参构造函数
    void fit(vector<double>& y, vector<vector<double>>& X); // 模型拟合
    double predict(vector<double>& x); // 预测函数
};

其中，fit函数用于拟合模型，predict函数用于预测新样本的结果。具体实现细节如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

class ProbitRegression {
private:
    int n; // 样本数
    int k; // 自变量个数
    vector<double> y; // 因变量
    vector<vector<double>> X; // 自变量

    vector<double> beta; // 回归系数
    double sigma; // 模型标准差

    double probit(double x) {
        return 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)));
    }

    double likelihood() {
        double L = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double mu = beta[0];
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                mu += beta[j + 1] * X[i][j];
            }
            double p = probit(mu / sigma);
            L += y[i] * log(p) + (1 - y[i]) * log(1 - p);
        }
        return L;
    }

    void gradient(vector<double>& grad) {
        grad[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double mu = beta[0];
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                mu += beta[j + 1] * X[i][j];
            }
            double p = probit(mu / sigma);
            grad[0] += (y[i] - p) / sigma;
            for (int j = 0; j < k; j++) {
                grad[j + 1] += X[i][j] * (y[i] - p) / sigma;
            }
        }
    }

    void hessian(vector<vector<double>>& hes) {
        for (int i = 0; i <= k; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                hes[i][j] = 0;
                for (int l = 0; l < n; l++) {
                    double mu = beta[0];
                    for (int m = 0; m < k; m++) {
                        mu += beta[m + 1] * X[l][m];
                    }
                    double p = probit(mu / sigma);
                    double d = X[l][i - 1] * X[l][j - 1] * p * (1 - p) / (sigma * sigma);
                    hes[i][j] -= d;
                }
            }
        }
    }

public:
    ProbitRegression() {
        n = 0;
        k = 0;
        beta.clear();
        sigma = 1.0;
    }

    ProbitRegression(int n, int k) {
        this->n = n;
        this->k = k;
        beta.resize(k + 1);
        sigma = 1.0;
    }

    void fit(vector<double>& y, vector<vector<double>>& X) {
        this->y = y;
        this->X = X;

        beta[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            beta[i] = 0;
        }

        double L1 = 0, L2 = 0;
        do {
            L1 = L2;
            vector<double> grad(k + 1);
            gradient(grad);
            vector<vector<double>> hes(k + 1, vector<double>(k + 1));
            hessian(hes);
            for (int i = 0; i <= k; i++) {
                hes[i][i] += 1e-8; // 加上一个很小的数，防止奇异矩阵
            }
            vector<double> delta(k + 1);
            for (int i = 0; i <= k; i++) {
                delta[i] = 0;
                for (int j = 0; j <= k; j++) {
                    delta[i] -= hes[i][j] * grad[j];
                }
                delta[i] /= hes[i][i];
            }
            for (int i = 0; i <= k; i++) {
                beta[i] += delta[i];
            }
            sigma = 1; // 这里默认用标准差作为模型参数，也可以用MLE估计
            L2 = likelihood();
        } while (fabs(L2 - L1) > 1e-8);
    }

    double predict(vector<double>& x) {
        double mu = beta[0];
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            mu += beta[i + 1] * x[i];
        }
        double p = probit(mu / sigma);
        return p;
    }
};

这个类的使用方法如下：

int main() {
    int n = 6, k = 2;
    vector<double> y = { 1, 0, 1, 0, 1, 0 };
    vector<vector<double>> X = { {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {7, 8}, {9, 10}, {11, 12} };
    ProbitRegression model(n, k);
    model.fit(y, X);
    vector<double> x = { 13, 14 };
    double p = model.predict(x);
    cout << "P(y*=1|x) = " << p << endl;
    return 0;
}

这个例子中，我们有6个样本，每个样本有两个自变量和一个因变量。我们用ProbitRegression类拟合了模型，并预测了一个新样本的结果。

希望这个实现可以满足你的需求，如果你有任何问题或建议，欢迎随时联系我。