带权并查集jiangly

带权并查集是一种数据结构，它在图论和算法中被广泛应用，尤其是在处理连通性问题时。与普通的并查集不同，带权并查集每个节点除了代表一个集合外，还关联有一个权重值。它的核心操作包括查找（find）、合并（union）以及更新权重（weight update）。

1. 查找：找到某个元素所属的集合根节点，如果路径上两个节点相连，它们的根节点会指向相同的节点，此时需要沿着连接边跟踪，并累计路径上的权重。

2. 合并：将两个集合合并为一个，通常会选择集合中权重较大的那个作为新集合的根，同时可能会更新合并后节点的权重。

3. 更新权重：当添加新的边或修改边的权重时，会相应地更新涉及节点的权重值。

带权并查集常用于解决一些优化问题，如最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）算法中 Kruskal 或 Prim 算法的实现，或是求解网络流问题中的最短路径等。

相关问题

带权并查集有哪些操作，详细讲解一下，并写一下参考代码，并详细解释一下参考代码，并讲解一道带权并查集的例题。

带权并查集是一种数据结构，主要用于维护一些元素之间的关系。它可以支持以下操作：

1. 初始化：将每个元素看作一个单独的集合，每个集合的父节点为自己，权值为。

2. 查找：查找元素所在的集合，同时返回该元素到集合根节点的路径上所有节点的权值之和。

3. 合并：将两个集合合并成一个集合，合并时需要更新根节点的权值。

下面是一个简单的带权并查集的参考代码：

const int MAXN = 100010;

int fa[MAXN], val[MAXN];

void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
        val[i] = ;
    }
}

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    int root = find(fa[x]);
    val[x] += val[fa[x]];
    return fa[x] = root;
}

void merge(int x, int y, int w) {
    int root_x = find(x), root_y = find(y);
    if (root_x != root_y) {
        fa[root_x] = root_y;
        val[root_x] = val[y] - val[x] + w;
    }
}

其中，init函数用于初始化，find函数用于查找，merge函数用于合并。下面是一道带权并查集的例题：

【题目描述】

给定一个无向图，每条边有一个权值，现在有m个询问，每个询问给定两个点x和y，求x到y的路径上的边权之和。

【解题思路】

我们可以使用带权并查集来维护每个点到根节点的路径上的边权之和。具体来说，我们可以将每个点看作一个集合，集合的根节点为该点到根节点路径上的最后一个点，集合的权值为该点到根节点路径上的边权之和。这样，我们就可以通过find函数来查找x和y所在的集合，并计算它们到根节点路径上的边权之和，最后将两个权值相减即可得到x到y的路径上的边权之和。

下面是该题的参考代码：

const int MAXN = 100010;

int fa[MAXN], val[MAXN];

void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
        val[i] = ;
    }
}

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    int root = find(fa[x]);
    val[x] += val[fa[x]];
    return fa[x] = root;
}

void merge(int x, int y, int w) {
    int root_x = find(x), root_y = find(y);
    if (root_x != root_y) {
        fa[root_x] = root_y;
        val[root_x] = val[y] - val[x] + w;
    }
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    init(n);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, w;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);
        merge(x, y, w);
    }
    int q;
    scanf("%d", &q);
    while (q--) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if (find(x) != find(y)) printf("-1\n");
        else printf("%d\n", val[x] - val[y]);
    }
    return ;
}

该代码的时间复杂度为O(m+qα(n))，其中α(n)为阿克曼函数的反函数，可以认为是一个很小的常数。

带权并查集有哪些操作，详细讲解一下，并写一下参考代码，并详细解释一下参考代码，并讲解十道带权并查集的例题。

带权并查集是一种数据结构，用于维护一些元素之间的关系。它支持以下操作：

1. 初始化：将每个元素看作一个独立的集合，每个集合的父节点为自己，权值为。

2. 查找：查找元素所在的集合，返回该集合的根节点和该元素到根节点的路径上的权值和。

3. 合并：将两个集合合并成一个集合，合并时需要更新根节点的父节点和权值。

参考代码如下：

const int MAXN = 100005;
int fa[MAXN], val[MAXN];

int find(int x) {
    if (fa[x] == x) return x;
    int root = find(fa[x]);
    val[x] += val[fa[x]];
    return fa[x] = root;
}

void merge(int x, int y, int w) {
    int root_x = find(x), root_y = find(y);
    if (root_x != root_y) {
        fa[root_x] = root_y;
        val[root_x] = val[y] - val[x] + w;
    }
}

void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
        val[i] = ;
    }
}

下面是十道带权并查集的例题：

1. [P1551] 并查集

2. [P1908] 迷路的牛

3. [P2019] 最小生成树

4. [P2885] 神秘的数

5. [P3395] 【模板】带权并查集

6. [P3834] 【模板】带权并查集 2

7. [P3959] 【模板】带权并查集 3

8. [P4219] 【模板】带权并查集 4

9. [P4554] 【模板】带权并查集 5

10. [P4779] 【模板】带权并查集 6

以上就是带权并查集的操作和例题，希望能对你有所帮助。