深入理解带权并查集的数据结构

# 1. 介绍带权并查集

在本章中，我们将深入介绍带权并查集的基本概念、应用场景以及与普通并查集的区别。让我们一起探索带权并查集这一重要的数据结构。

# 2. 并查集数据结构详解

在本章中，我们将深入探讨带权并查集的数据结构，包括其基本操作、路径压缩优化和按秩合并优化。带权并查集是一种非常实用的数据结构，常用于解决图论中的各种实际问题。让我们逐步了解并查集的核心知识点。

# 3. 带权并查集的实现

带权并查集是一种特殊的数据结构，它在普通并查集的基础上增加了权重信息，用于表示节点之间的关联权值。在本章中，我们将深入探讨带权并查集的实现细节，包括数据结构设计、路径压缩与按秩合并的实现方法以及时间复杂度分析。

#### 3.1 带权并查集的数据结构设计与实现

带权并查集的数据结构通常由两个数组组成：parent和weight。其中，parent数组用于表示每个节点的父节点，而weight数组则用于表示每个节点到其父节点的权重值。下面是一个简单的带权并查集的Java实现：

class WeightedUnionFind {
    private int[] parent;
    private int[] weight;

    public WeightedUnionFind(int n) {
        parent = new int[n];
        weight = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            weight[i] = 0;
        }
    }

    public int find(int p) {
        if (p != parent[p]) {
            int root = find(parent[p]);
            weight[p] += weight[parent[p]];
            parent[p] = root;
        }
        return parent[p];
    }

    public void union(int p, int q, int diff) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP != rootQ) {
            parent[rootP] = rootQ;
            weight[rootP] = diff + weight[q] - weight[p];
        }
    }

    public int diff(int p, int q) {
        if (find(p) != find(q)) {
            return Integer.MIN_VALUE; // nodes p and q are not connected
        }
        return weight[p] - weight[q];
    }
}

#### 3.2 带权并查集的路径压缩与按秩合并的实现

路径压缩与按秩合并是常见的优化技巧，可以有效降低查找操作的时间复杂度。通过在find操作中进行路径压缩和按秩合并操作，可以将并查集的时间复杂度保持在近似常数级别。下面是Java语言下带优化的带权并查集实现：

class WeightedUnionFind {
    private int[] parent;
    private int[] weight;

    public WeightedUnionFind(int n) {
        parent = new int[n];
        weight = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            weight[i] = 0;
        }
    }

    public int find(int p) {
        if (p != parent[p]) {
            int root = find(parent[p]);
            weight[p] += weight[parent[p]]; // update the weight value