解释并举例softmax和交叉熵损失函数

softmax是一种常用的激活函数，通常用于多分类问题中。它将输出层的每个神经元的输出值转换为表示概率的值，使得所有输出值的和为1。softmax函数的公式如下：

$$softmax(z_i)=\frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{k}e^{z_j}}$$

其中，$z_i$表示输出层第$i$个神经元的输出值，$k$表示类别数。

交叉熵损失函数是一种常用的损失函数，它衡量了模型预测输出与真实标签之间的差异。对于多分类问题，交叉熵损失函数的公式如下：

$$L=-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}y_{ij}log(\hat{y}_{ij})$$

其中，$n$表示样本数，$k$表示类别数，$y_{ij}$表示第$i$个样本的第$j$个类别的真实标签值（1或0），$\hat{y}_{ij}$表示第$i$个样本的第$j$个类别的预测输出值。

举个例子，假设有一个三分类问题，模型输出层的三个神经元的输出值分别为$z_1=1.2,z_2=0.8,z_3=0.5$，那么经过softmax函数转换后，它们的概率值分别为$P_1=0.43,P_2=0.27,P_3=0.3$。如果某个样本的真实标签为第一个类别（即$y_{i1}=1$），那么对于这个样本，代价函数的计算公式为$L=-log(P_1)=-log(0.43)=0.84$。如果这个样本的真实标签为第二个类别或第三个类别，那么对应的计算公式为$L=-log(P_2)$或$L=-log(P_3)$。最终，模型的训练目标就是使得所有样本的代价函数之和最小化。