如何判断二元函数是否可微,请举个例子
时间: 2023-06-05 09:06:29 浏览: 81
对于二元函数f(x,y)来说,如果在某点(x0,y0)处同时存在偏导数f_x和f_y,且这两个偏导数在该点处连续,则称f(x,y)在点(x0,y0)处可微。一个例子是f(x,y)=xy,其在所有点处都可微,因为偏导数f_x=y和f_y=x都存在且连续。
相关问题
如何判断二元函数是否可求偏导,请举个例子
可以通过验证函数在该点处是否连续及其偏导数是否存在来判断二元函数是否可求偏导。例如,对于函数f(x,y)=|xy|,在(0,0)处,f(x,y)不连续,因此不可求偏导。而对于函数g(x,y)=x^2+y^2,在任意点处均连续且偏导数均存在,因此可求偏导。
证明二元函数连续的方法,举一个例子
证明二元函数连续的方法,最常用的方法是使用 ε-δ 定义。具体来说,如果对于任意ε>0,存在一个δ>0,使得当(x,y)与(x0,y0)的距离小于δ时,|f(x,y)-f(x0,y0)|<ε成立,那么我们就说二元函数在点(x0,y0)处连续。
例如,考虑函数f(x,y)=x^2+y^2-1。如果我们想证明这个函数在点(1,0)处连续,那么我们可以这样做:
对于任意ε>0,我们取δ=√ε/2。那么当点(x,y)与(1,0)的距离小于δ时,即
sqrt((x-1)^2+y^2)<sqrt(ε/2)
时,我们有
|f(x,y)-f(1,0)|=|(x^2+y^2-1)-0|=x^2+y^2-1<ε/2+ε/2=ε
因此,我们证明了f(x,y)在点(1,0)处连续。