一个行向量与一个列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹
时间: 2023-08-31 13:06:43 浏览: 24
是的,这个结论是正确的。假设行向量为 $\boldsymbol{a}$,列向量为 $\boldsymbol{b}$,它们的乘积为 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$,则它们的迹为 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})$。因为 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$ 是一个 $1\times 1$ 的矩阵,所以它的迹就是它的唯一元素,即 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$。另一方面,$\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$ 的迹也可以表示为 $\boldsymbol{a}^\top\boldsymbol{b}$,因为它们是相等的,所以 $\boldsymbol{a}^\top\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$。因此,一个行向量与一个列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹。
相关问题
一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的迹
这个结论并不成立。事实上,一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的转置的迹。
设行向量为 $\mathbf{a}$,列向量为 $\mathbf{b}$,则它们的乘积为 $\mathbf{a} \mathbf{b}$,结果是一个 $1 \times 1$ 的矩阵,即一个标量。而列向量与行向量的乘积为 $\mathbf{b} \mathbf{a}$,结果是一个 $n \times n$ 的矩阵,其中 $n$ 是向量的维度。因此,它们的转置分别为 $\mathbf{b} \mathbf{a}^\top$ 和 $\mathbf{a}^\top \mathbf{b}$,它们的迹分别为 $\mathrm{tr}(\mathbf{b} \mathbf{a}^\top)$ 和 $\mathrm{tr}(\mathbf{a}^\top \mathbf{b})$。
根据矩阵乘法和迹的定义,我们有:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{tr}(\mathbf{b} \mathbf{a}^\top) &= \mathrm{tr}(\mathbf{a}^\top \mathbf{b}) \\
&= \sum_{i=1}^n (\mathbf{a}^\top \mathbf{b})_{ii} \\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j [\mathbf{e}_i]_j [\mathbf{e}_j]_i \\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \delta_{ij} \\
&= \sum_{i=1}^n a_i b_i \\
&= \mathbf{a} \mathbf{b}.
\end{aligned}
$$
因此,一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的转置的迹,而不是直接等于列向量与行向量乘积的迹。
为什么一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的迹
一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的迹,这个结论是不正确的。
事实上,行向量 $\boldsymbol{a}$ 和列向量 $\boldsymbol{b}$ 的乘积 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$ 是一个 $1\times 1$ 的矩阵,它只有一个元素,即 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$。
而列向量 $\boldsymbol{b}$ 和行向量 $\boldsymbol{a}$ 的乘积 $\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵,其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $b_ia_j$。因此,列向量 $\boldsymbol{b}$ 和行向量 $\boldsymbol{a}$ 的乘积的迹为 $\mathrm{Tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a})=\sum_{i=1}^n(b_ia_i)$。
两者不相等,因此一个行向量与一个列向量的乘积不等于列向量与行向量乘积的迹。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)