为何分类问题用交叉熵而不用平方损失？啥是交叉熵

交叉熵（Cross-Entropy）是一种衡量两个概率分布之间差异的方法。在分类问题中，交叉熵通常被用作损失函数，因为它的计算过程与概率模型预测的不确定性紧密相关。当预测概率分布与实际概率分布相差较大时，交叉熵会给出较大的损失值，这样就可以有效地指导模型学习和调整。

相比之下，平方损失函数（Mean Squared Error, MSE）通常用于回归问题，它通过计算预测值与真实值之间差的平方的平均来衡量误差。在分类问题中，尤其是多分类问题中，如果使用平方损失，可能会导致模型对预测概率值的调整不够高效，因为平方损失对于那些远离正确类别的预测值的惩罚不够大，使得模型在这些预测上的学习动力不足。

交叉熵损失函数定义如下：
设有两个概率分布P和Q，它们的交叉熵定义为：
\[ H(P, Q) = -\sum_{x} P(x) \log Q(x) \]

在机器学习中，通常我们让P表示真实的标签分布，Q表示模型预测的概率分布。对于分类问题，P(x)对于正确类别是1，对于其他类别是0；而Q(x)是模型对每个类别预测的概率。

使用交叉熵作为损失函数有如下好处：
1. 对于正确分类的样本，由于模型给出的概率接近1，交叉熵较小，不会对总损失有太大贡献。
2. 对于错误分类的样本，模型给出的概率较低，但是由于真实标签P(x)为1，交叉熵较大，这会促使模型对这类样本进行较大的调整。
3. 交叉熵的计算效率更高，尤其是在处理多分类问题时，相比于平方损失，交叉熵能够提供更准确的梯度信息，加快模型的学习速度。