概率论中的链式求导法则

概率论中的链式求导法则是指在复合函数求导中，将导数分解为多个导数的乘积形式的规则。对于一个随机变量 $Y$，其由随机变量 $X$ 经过函数 $g(\cdot)$ 转化得到，即 $Y = g(X)$，则 $Y$ 对 $X$ 的导数可以表示为：

$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}g}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}X}$$

其中，$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}g}$ 表示 $Y$ 对 $g$ 的导数，$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}X}$ 表示 $g$ 对 $X$ 的导数。这个规则可以递归地应用于多个变量的复合函数求导中。

相关问题

在概率论中由x的概率密度求y的概率密度，对y的分布函数求导时，分布函数y里d复合函数对谁求导

当通过概率密度函数 $f_X(x)$ 求另一个随机变量 $Y=g(X)$ 的概率密度函数时，我们需要使用变量替换法则（也称为雅可比变换）。

具体地，如果 $Y=g(X)$，则概率密度函数 $f_Y(y)$ 可以表示为：

$$f_Y(y) = f_X(x)\left|\frac{dx}{dy}\right|$$

其中，$\frac{dx}{dy}$ 是 $g(X)$ 对 $Y$ 的导数，也就是雅可比行列式的倒数。

对于分布函数 $F_Y(y)$，我们需要使用链式法则对其求导：

$$\frac{dF_Y(y)}{dy}=\frac{dF_X(x)}{dx}\frac{dx}{dy}$$

其中，$\frac{dF_X(x)}{dx}$ 是 $X$ 的分布函数的导数。因此，分布函数 $F_Y(y)$ 里的 $d$ 复合函数应该对 $Y$ 求导。