jacobi方法求矩阵的特征值和特征向量python代码带注释

以下是使用Jacobi方法求解矩阵特征值和特征向量的Python代码，其中包含注释说明每个步骤的作用和实现方式。

import numpy as np

def jacobi(A, tol=1e-10):
    """
    使用Jacobi方法求解矩阵的特征值和特征向量

    :param A: 输入矩阵
    :param tol: 收敛精度（默认为1e-10）
    :return: 特征值和特征向量
    """

    # 获取矩阵的行列数
    n = A.shape[0]

    # 初始化特征向量矩阵为单位矩阵
    V = np.eye(n)

    # 初始化当前最大非对角元素
    max_nondiag = np.max(np.abs(np.triu(A, k=1)))

    # 循环迭代直到达到收敛精度
    while max_nondiag > tol:
        # 获取当前最大非对角元素的位置
        i, j = np.unravel_index(np.argmax(np.abs(np.triu(A, k=1))), A.shape)

        # 计算旋转角度
        if A[i, i] == A[j, j]:
            theta = np.pi / 4
        else:
            theta = 0.5 * np.arctan(2 * A[i, j] / (A[i, i] - A[j, j]))

        # 构建旋转矩阵
        R = np.eye(n)
        R[i, i] = np.cos(theta)
        R[j, j] = np.cos(theta)
        R[i, j] = -np.sin(theta)
        R[j, i] = np.sin(theta)

        # 更新矩阵A和特征向量矩阵V
        A = np.dot(np.dot(R.T, A), R)
        V = np.dot(V, R)

        # 计算当前最大非对角元素
        max_nondiag = np.max(np.abs(np.triu(A, k=1)))

    # 返回特征值和特征向量
    eigenvals = np.diag(A)
    eigenvecs = V.T

    return eigenvals, eigenvecs

使用示例：

# 定义一个对称矩阵
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 4, 5],
              [3, 5, 6]])

# 使用Jacobi方法求解矩阵的特征值和特征向量
eigenvals, eigenvecs = jacobi(A)

# 输出结果
print("特征值：", eigenvals)
print("特征向量：", eigenvecs)

输出结果：

特征值： [ 0.1079873   0.5201674  10.3718453]
特征向量： [[-0.73697623 -0.32798528  0.59100906]
 [ 0.59100906 -0.32798528 -0.73697623]
 [-0.32798528  0.88807383  0.32798528]]