双足机器人包括膝关节、髋关节、足、上身的动力学建模方程

双足机器人的动力学建模方程可以分为两类：运动学方程和力学方程。

运动学方程：

1. 膝关节运动学方程
根据膝关节的几何形状和运动学，可以得到膝关节的运动学方程：

$x_{knee} = x_{hip} + l_1*cos(\theta_1)$
$y_{knee} = y_{hip} + l_1*sin(\theta_1)$

其中，$x_{knee}$ 和 $y_{knee}$ 分别表示膝盖的水平和垂直坐标，$x_{hip}$ 和 $y_{hip}$ 分别表示髋关节的水平和垂直坐标，$l_1$ 表示大腿长度，$\theta_1$ 表示膝关节的角度。

2. 髋关节运动学方程
根据髋关节的几何形状和运动学，可以得到髋关节的运动学方程：

$x_{hip} = x_{body} + l_2*cos(\theta_2)$
$y_{hip} = y_{body} + l_2*sin(\theta_2)$

其中，$x_{hip}$ 和 $y_{hip}$ 分别表示髋关节的水平和垂直坐标，$x_{body}$ 和 $y_{body}$ 分别表示机器人身体的水平和垂直坐标，$l_2$ 表示腿长，$\theta_2$ 表示髋关节的角度。

3. 足部运动学方程
根据足部的几何形状和运动学，可以得到足部的运动学方程：

$x_{foot} = x_{knee} + l_3*cos(\theta_1+\theta_3)$
$y_{foot} = y_{knee} + l_3*sin(\theta_1+\theta_3)$

其中，$x_{foot}$ 和 $y_{foot}$ 分别表示足部的水平和垂直坐标，$x_{knee}$ 和 $y_{knee}$ 分别表示膝盖的水平和垂直坐标，$l_3$ 表示小腿长度，$\theta_3$ 表示脚踝的角度。

力学方程：

1. 膝关节力学方程
根据牛顿第二定律和膝关节的力学特性，可以得到膝关节的力学方程：

$T_{knee} - F_{knee}l_1*sin(\theta_1) - m_{thigh}g(l_1/2*cos(\theta_1)) - m_{calf}g(l_1*cos(\theta_1)+l_3/2*cos(\theta_1+\theta_3)) = m_{thigh}a_{thigh}$

其中，$T_{knee}$ 表示膝关节的扭矩，$F_{knee}$ 表示膝关节的合力，$m_{thigh}$ 和 $m_{calf}$ 分别表示大腿和小腿的质量，$g$ 表示重力加速度，$a_{thigh}$ 表示大腿的加速度。

2. 髋关节力学方程
根据牛顿第二定律和髋关节的力学特性，可以得到髋关节的力学方程：

$T_{hip} - F_{hip}l_2*sin(\theta_2) - m_{thigh}g(l_2/2*cos(\theta_2)) = m_{thigh}a_{thigh}$

其中，$T_{hip}$ 表示髋关节的扭矩，$F_{hip}$ 表示髋关节的合力，$m_{thigh}$ 表示大腿的质量，$g$ 表示重力加速度，$a_{thigh}$ 表示大腿的加速度。

3. 足部力学方程
根据牛顿第二定律和足部的力学特性，可以得到足部的力学方程：

$T_{foot} - F_{foot}l_3*sin(\theta_1+\theta_3) - m_{calf}g(l_3/2*cos(\theta_1+\theta_3)) = m_{calf}a_{calf}$

其中，$T_{foot}$ 表示足部的扭矩，$F_{foot}$ 表示足部的合力，$m_{calf}$ 表示小腿的质量，$g$ 表示重力加速度，$a_{calf}$ 表示小腿的加速度。