写一篇关于九宫重排问题的分析与实现的论文

一、问题描述

九宫重排问题是指将一个3×3的数字矩阵打乱后，通过移动数字，使其恢复成初始状态的过程。其中空格可以与其上下左右的数字交换位置。

二、问题分析

1.问题的可解性

对于九宫重排问题，我们可以通过数学方法证明：只有在初始状态与目标状态的逆序对数奇偶性相同时，问题才有解。若逆序对数为奇数，则问题无解；若逆序对数为偶数，则问题有解。其中逆序对数指的是所有数字中，前面比后面大的数的对数。

2.问题的解法

对于九宫重排问题的解法，我们可以使用启发式搜索算法中的A*算法。该算法使用估价函数对每个状态进行估价，从而选择当前最优的状态进行搜索。对于九宫重排问题，我们可以使用曼哈顿距离（Manhattan Distance）作为估价函数。曼哈顿距离指的是每个数字到目标位置的曼哈顿距离之和，即每个数字的水平和垂直距离之和。在A*算法中，我们需要计算每个状态的代价（g值）和估价值（h值），最终选择代价和估价值之和最小的状态进行搜索。

3.问题的实现

对于九宫重排问题的实现，我们可以使用C++语言进行编写。具体实现方式如下：

（1）定义结构体State，用于存储每个状态的信息，包括当前状态的矩阵、代价和估价值等。

（2）定义函数getH，用于计算每个状态的估价值，即曼哈顿距离。

（3）定义函数getNext，用于获取当前状态的所有可能后继状态。

（4）定义函数Astar，用于使用A*算法搜索最优解。

（5）定义函数main，用于获取输入的初始状态并调用Astar函数进行搜索。

三、代码实现

以下是C++语言实现九宫重排问题的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
const int MAXN=3;
const int MAXM=3;
const int MAXNM=MAXN*MAXM;
struct State{
    int a[MAXN][MAXM];
    int cost;
    int f;
    bool operator<(const State &rhs)const{
        return f>rhs.f;
    }
};
int h(State s){
    int ans=0;
    for(int i=0;i<MAXN;i++){
        for(int j=0;j<MAXM;j++){
            if(s.a[i][j]==0)continue;
            ans+=abs(i-(s.a[i][j]-1)/MAXM)+abs(j-(s.a[i][j]-1)%MAXM);
        }
    }
    return ans;
}
State getNext(State s){
    State ans;
    int x,y;
    for(int i=0;i<MAXN;i++){
        for(int j=0;j<MAXM;j++){
            if(s.a[i][j]==0){
                x=i;
                y=j;
                break;
            }
        }
    }
    int dx[4]={-1,0,1,0};
    int dy[4]={0,1,0,-1};
    for(int i=0;i<4;i++){
        int nx=x+dx[i];
        int ny=y+dy[i];
        if(nx>=0&&nx<MAXN&&ny>=0&&ny<MAXM){
            ans=s;
            swap(ans.a[x][y],ans.a[nx][ny]);
            ans.cost=s.cost+1;
            ans.f=ans.cost+h(ans);
            return ans;
        }
    }
}
int Astar(State s){
    priority_queue<State>q;
    map<State,int>mp;
    s.cost=0;
    s.f=h(s);
    q.push(s);
    mp[s]=1;
    while(!q.empty()){
        State t=q.top();
        q.pop();
        if(h(t)==0)return t.cost;
        for(int i=0;i<4;i++){
            State ns=getNext(t);
            if(!mp[ns]){
                q.push(ns);
                mp[ns]=1;
            }
        }
    }
    return -1;
}
int main(){
    State s;
    for(int i=0;i<MAXN;i++){
        for(int j=0;j<MAXM;j++){
            cin>>s.a[i][j];
        }
    }
    int ans=Astar(s);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

四、总结

九宫重排问题虽然在计算机领域中属于比较简单的问题，但是其解法却涉及到了许多计算机算法和数据结构的知识。对于程序员来说，学习和掌握九宫重排问题的解法，不仅可以加深对于计算机算法和数据结构的理解，同时也可以提高程序员的编程能力和解决问题的能力。