两个正态总体，方差比的假设检验问题例题及算法程序

假设两个正态总体 $X_1 \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 和 $X_2 \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，方差比为 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$，则我们想要进行假设检验：

$H_0: \sigma_1^2/\sigma_2^2 = k$，其中 $k$ 是已知常数

$H_1: \sigma_1^2/\sigma_2^2 \neq k$

我们可以使用 $F$ 分布来进行假设检验。具体的计算步骤如下：

1. 计算样本方差 $s_1^2$ 和 $s_2^2$，以及样本均值 $\bar{X_1}$ 和 $\bar{X_2}$。

2. 计算样本 $F$ 统计量：$F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \times \frac{1}{k}$。

3. 计算 $F$ 分布的临界值 $F_{\alpha/2}(df_1,df_2)$，其中 $\alpha$ 是显著性水平，$df_1$ 和 $df_2$ 分别是自由度。

4. 如果 $F > F_{\alpha/2}(df_1,df_2)$ 或 $F < F_{1-\alpha/2}(df_1,df_2)$，则拒绝原假设 $H_0$，否则接受原假设 $H_0$。

算法程序如下：

import numpy as np
from scipy.stats import f

def var_ratio_test(x1, x2, k, alpha):
    # 输入：x1, x2 分别为样本1和样本2的数据，k 为已知常数，alpha 为显著性水平
    # 输出：是否拒绝原假设 H0
    
    n1, n2 = len(x1), len(x2)
    s1, s2 = np.var(x1, ddof=1), np.var(x2, ddof=1)
    F = (s1/s2) * (1/k)
    df1, df2 = n1-1, n2-1
    F_alpha_low = f.ppf(alpha/2, df1, df2)
    F_alpha_high = f.ppf(1-alpha/2, df1, df2)
    
    if F < F_alpha_low or F > F_alpha_high:
        return True
    else:
        return False

注意，这里的自由度 df1 和 df2 分别是样本1和样本2的自由度，而不是总体的自由度。在计算临界值时，使用 `scipy.stats` 中的 `f.ppf` 函数来计算 $F_{\alpha/2}(df_1,df_2)$ 和 $F_{1-\alpha/2}(df_1,df_2)$。