实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性

时间: 2023-07-10 16:42:20 浏览: 327

实对称矩阵的性质与证明

### 实对称矩阵的性质与证明实对称矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其是在线性代数中占有非常重要的地位。本文主要探讨了实对称矩阵的一些基本性质及其证明过程，这些性质包括： 1. **所有特征值都为实数** 2. **不同特征值对应的特征向量互相正交** 3. **存在正交矩阵进行对角化** 4. **多重特征值对应的线性无关特征向量数目** #### 性质1：所有特征值都为实数 **定理**：如果矩阵\( A \)是实对称矩阵，即\( A = A^T \)，那么\( A \)的所有特征值都是实数。 **证明**：假设\( \lambda \)是\( A \)的一个特征值，对应的特征向量为\( x \)（\( x \neq 0 \)），则有\( Ax = \lambda x \)。取该方程的共轭转置，得到\( (Ax)^* = (\lambda x)^* \)，即\( x^*A^* = \lambda^* x^* \)。由于\( A \)是对称矩阵，所以\( A^* = A^T = A \)。因此，我们有\( x^*A = \lambda^* x^* \)。结合\( Ax = \lambda x \)，得到\( x^*Ax = \lambda^* x^*x \)。另一方面，因为\( Ax = \lambda x \)，我们可以进一步写成\( x^*Ax = \lambda x^*x \)。由于\( x^*x \)是一个标量且总是非负的，我们得出\( \lambda^* = \lambda \)。这表明\( \lambda \)是实数。 #### 性质2：不同特征值对应的特征向量互相正交 **定理**：若\( A \)是实对称矩阵，\(\lambda_1\) 和\(\lambda_2\) 是\( A \)的不同特征值，对应的特征向量分别为\( x_1 \)和\( x_2 \)，则\( x_1 \)和\( x_2 \)正交。 **证明**：假设\( Ax_1 = \lambda_1 x_1 \)且\( Ax_2 = \lambda_2 x_2 \)，并且\( \lambda_1 \neq \lambda_2 \)。考虑\( x_1^*Ax_2 = x_1^*(\lambda_2 x_2) = \lambda_2 x_1^*x_2 \)。同时，由于\( A \)是对称矩阵，我们还有\( x_1^*Ax_2 = (Ax_1)^*x_2 = (\lambda_1 x_1)^*x_2 = \lambda_1^* x_1^*x_2 = \lambda_1 x_1^*x_2 \)。因此，\( \lambda_2 x_1^*x_2 = \lambda_1 x_1^*x_2 \)。由于\( \lambda_1 \neq \lambda_2 \)，唯一可能的情况是\( x_1^*x_2 = 0 \)，即\( x_1 \)和\( x_2 \)正交。 #### 性质3：存在正交矩阵进行对角化 **定理**：对于任何实对称矩阵\( A \)，存在正交矩阵\( U \)和对角矩阵\( W \)，使得\( U^TAU = W \)，其中\( W \)的对角线元素是\( A \)的特征值，\( U \)的列向量是\( A \)的特征向量。 **证明**：采用数学归纳法证明。对于一阶方阵，显然命题成立。假设对于\( n-1 \)阶实对称矩阵命题成立，则对于\( n \)阶实对称矩阵\( A \)，存在至少一个特征值\( \lambda \)及对应的特征向量\( x \)。通过\( x \)构造一个正交基，并将其排列成矩阵\( Q \)。由于\( Q \)是正交矩阵，\( Q^TQ = I \)，我们有\( Q^TAQ = B \)，其中\( B \)也是实对称矩阵。根据归纳假设，存在正交矩阵\( P \)使得\( P^TBP = D \)，其中\( D \)是对角矩阵。因此，\( (PQ)^TAPQ = D \)。这里\( PQ \)也是正交矩阵，且\( D \)的对角线元素是\( A \)的特征值，\( PQ \)的列向量是\( A \)的特征向量。 #### 性质4：多重特征值对应的线性无关特征向量数目 **定理**：若\( A \)是\( n \)阶实对称矩阵，\( k \)是\( A \)的一个特征值的代数重数，则存在恰好\( k \)个线性无关的特征向量对应于\( \lambda \)。 **证明**：首先证明引理：对于一般矩阵，\( k \)重特征值对应的线性无关特征向量最多有\( k \)个。假设存在\( m \)个线性无关的特征向量\( v_1, v_2, \ldots, v_m \)，其中\( m > k \)。利用施密特正交化法得到\( m \)个正交的特征向量\( u_1, u_2, \ldots, u_m \)。接着，将这些正交向量扩充为一组正交基，并排列成矩阵\( P \)。则\( P^TAP \)的形式揭示了\( \lambda \)至少是\( m \)重特征值，这与\( \lambda \)是\( k \)重特征值矛盾。因此，\( m \leq k \)。根据性质3中的证明，我们知道存在\( n \)个线性无关的特征向量，因此\( m = k \)，即\( k \)重特征值对应的线性无关特征向量恰好有\( k \)个。我们详细探讨并证明了实对称矩阵的几个关键性质，这些性质不仅有助于深入理解实对称矩阵的本质，也为后续更高级别的理论研究奠定了坚实的基础。

实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性可以通过矩阵的特征值来判断。 1. 正定矩阵：所有特征值都大于0，则该矩阵为正定矩阵。 2. 负定矩阵：所有特征值都小于0，则该矩阵为负定矩阵。 3. 半正定矩阵：所有特征值都大于等于0，则该矩阵为半正定矩阵。 4. 半负定矩阵：所有特征值都小于等于0，则该矩阵为半负定矩阵。 5. 不定矩阵：存在正特征值和负特征值，则该矩阵为不定矩阵。特别地，对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法将其对角化为对角矩阵，其特征值即为对角矩阵的对角线元素。因此，实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性可以通过对角矩阵的特征值判断。

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实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性

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