实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性
时间: 2023-07-10 11:42:20 浏览: 115
实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性可以通过矩阵的特征值来判断。
1. 正定矩阵:所有特征值都大于0,则该矩阵为正定矩阵。
2. 负定矩阵:所有特征值都小于0,则该矩阵为负定矩阵。
3. 半正定矩阵:所有特征值都大于等于0,则该矩阵为半正定矩阵。
4. 半负定矩阵:所有特征值都小于等于0,则该矩阵为半负定矩阵。
5. 不定矩阵:存在正特征值和负特征值,则该矩阵为不定矩阵。
特别地,对于实对称矩阵,可以通过正交对角化的方法将其对角化为对角矩阵,其特征值即为对角矩阵的对角线元素。因此,实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性可以通过对角矩阵的特征值判断。
相关问题
用matlab编写一个程序通过行列式值判断矩阵正定性和负定性
好的,下面是Matlab代码:
```matlab
% 输入一个矩阵A
A = [1 2 3; 2 5 6; 3 6 9];
% 计算矩阵A的行列式值
detA = det(A);
% 判断矩阵A的正定性和负定性
if detA > 0
disp('矩阵A正定');
elseif detA < 0
disp('矩阵A负定');
else
disp('矩阵A不是正定也不是负定');
end
```
你可以将矩阵A替换成自己想要判断的矩阵即可。注意,该方法只适用于$n$阶实对称矩阵的判断,如果矩阵不是实对称矩阵,则无法使用行列式判断其正定性和负定性。
线性变化改变矩阵的正定性吗
线性变化可以改变矩阵的正定性。
正定矩阵定义为一个$n\times n$的实对称矩阵$A$满足以下条件:
1.对于任意的非零向量$x\in \mathbb{R}^n$,都有$x^T Ax>0$。
2.矩阵$A$的所有特征值都是正数。
当进行线性变化时,矩阵$A$的特征值可能会改变,从而导致矩阵的正定性发生变化。例如,对于一个正定矩阵$A$,如果我们将其乘以一个非零常数$c$,则得到的新矩阵$cA$也是正定的,因为$cA$的特征值是$c$乘以原矩阵$A$的特征值。
另一方面,如果我们进行一些非线性的变换,例如取$\exp(A)$或$\sqrt{A}$,则矩阵的正定性可能会发生变化。因此,线性变化可以改变矩阵的正定性,但非线性变化可能会更加复杂。