对称矩阵的性质与正定性证明

本资源主要讨论的是对称矩阵及其正定性的相关知识。首先，对称矩阵具有重要的性质，包括其特征值总是实数，且对应的特征向量两两正交。这可以从验证阶单位阵的例子中看出，单位阵的特征值为重根，特征向量构成的向量组形成正交矩阵，满足A=AT。 对于一般的对称矩阵，如阶对称阵，其特征值的数量和特征向量的正交性确保了矩阵可以被分解为正交矩阵的特征值和特征向量的乘积形式，即A=QΛQT，其中Q是一个正交矩阵，Λ是对角矩阵，包含特征值。这种分解被称为谱定理，它揭示了对称矩阵的内在结构。 在证明对称矩阵的性质时，强调了严谨的方法。例如，对于特征值的证明，不再依赖于行列式或迹与特征值的关系，而是从矩阵的定义出发，通过对等式的共轭和转置操作，利用对称矩阵的对称性，通过内积运算得到单个数值，避免了复杂的矩阵运算。 此外，文中提到的"主轴定理"可能是关于对称矩阵主特征值方向的重要性质，但具体内容在此未详述。该资源深入探讨了对称矩阵的性质、分解方法以及证明过程，是理解对称矩阵在数学和工程领域中的核心作用的关键材料。