动态规划 最优二叉查找树

动态规划可以应用于求解最优二叉查找树问题。最优二叉查找树也称为哈夫曼树，是一种特殊的二叉查找树，其节点具有非负的权值。目标是构建一棵具有最小搜索代价的二叉查找树。

在动态规划求解最优二叉查找树问题时，可以采用自底向上的方式进行计算。首先，需要定义一个动态规划数组dp来保存计算过程中的中间结果。dp[i][j]表示关键字集合中从第i个关键字到第j个关键字构成的最优二叉查找树的期望搜索代价。

动态规划的核心思想是将原问题划分为若干子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。在求解最优二叉查找树问题时，可以考虑将关键字集合划分为两部分，即以k作为根节点的左子树和右子树。那么可以得到以下递推关系：

dp[i][j] = min(dp[i][k-1] + dp[k+1][j]) + sum(p[i:j])

其中dp[i][j]表示从第i个关键字到第j个关键字构成的最优二叉查找树的期望搜索代价，p[i:j]表示第i个关键字到第j个关键字的权值之和。

根据这个递推关系，可以使用双重循环遍历关键字集合的所有可能划分，并计算出dp数组的值。最终，dp[n]即为所求的最优二叉查找树的期望搜索代价，其中n为关键字的总数。

通过动态规划求解最优二叉查找树问题，可以有效地避免重复计算，提高求解效率。

相关问题

动态规划最优二叉搜索树

动态规划最优二叉搜索树，又叫做最优二叉查找树，是指在一棵二叉查找树中，查找每个节点的概率给定，如何构造一棵高度最小、查找代价最小的二叉查找树。

动态规划最优二叉搜索树的解法是基于最优子结构和无后效性的原理，可以看做是一种自底向上的求解方法。具体来说，它通过计算不同子树的最优解，并将其组合成更大的子树的最优解，最终得到整棵树的最优解。

算法的基本思想是：用一个二维数组dp[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优二叉搜索树的代价，其中i<=j，对于i>j的情况，dp[i][j]的值为0。通过填表格的方式，我们可以依次求出dp[1][n]，即整棵二叉搜索树的最优代价。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行动态规划：

1. 初始化dp数组，将所有对角线上的元素设为对应节点的查找概率；
2. 从小到大枚举区间长度len，对于每个长度为len的区间[i, i+len-1]，枚举其根节点j，计算dp[i][i+len-1]的值；
3. 对于每个区间[i, i+len-1]，计算其左子树和右子树的最小代价，然后将它们相加得到dp[i][i+len-1]的值；
4. 最终dp[1][n]即为整棵树的最小代价。

需要注意的是，动态规划最优二叉搜索树算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点数。

动态规划的最优二叉查找树的递推公式怎么推导

动态规划的最优二叉查找树问题，通常也称为哈夫曼树问题，它的递推公式可以使用以下方法推导得到：

假设给定一个有序序列 $K=\{k_1,k_2,\cdots,k_n\}$，对应的概率序列为 $p=\{p_1,p_2,\cdots,p_n\}$。我们需要构建一棵二叉查找树 $T$，使得查找所有元素的期望代价最小，其中期望代价为查找每个元素的代价乘以该元素被查找的概率之和。

我们定义 $w_{i,j}$ 表示从 $k_i$ 到 $k_j$ 的所有元素作为叶子节点构成的子树的概率之和，即：

$$ w_{i,j} = \sum_{l=i}^j p_l $$

我们同时定义 $e_{i,j}$ 表示在以 $k_i$ 到 $k_j$ 的元素为叶子节点的子树中进行一次查找的期望代价，即：

$$ e_{i,j} = \begin{cases}
q_{i-1}, & j=i-1 \\
\min\limits_{i\leqslant r \leqslant j}\{e_{i,r-1}+e_{r+1,j}+w_{i,j}\}, & i\leqslant j
\end{cases} $$

其中 $q_{i-1}$ 表示在查找失败时返回 $k_{i-1}$ 的代价，即叶子节点的左侧边界的值的代价。

根据上述定义，我们可以得到最终的递推公式：

$$ e_{i,j} = \begin{cases}
q_{i-1}, & j=i-1 \\
\min\limits_{i\leqslant r \leqslant j}\{e_{i,r-1}+e_{r+1,j}+w_{i,j}\}, & i\leqslant j
\end{cases} $$

这个公式的含义是：对于每个子序列 $K_{i,j}$，我们枚举其中一个元素 $k_r$ 作为根节点，然后将其左侧子序列 $K_{i,r-1}$ 和右侧子序列 $K_{r+1,j}$ 作为 $k_r$ 的左右子树，此时期望代价为左右子树期望代价之和加上 $w_{i,j}$，选择其中最小的作为 $e_{i,j}$。最终，我们可以得到整个序列 $K$ 的最优二叉查找树的期望代价为 $e_{1,n}$。