利用Fortran语言编写Numerov算法

Numerov算法是一种求解一维薛定谔方程的数值方法。它的基本思想是将波函数在一点的值和斜率作为已知条件，通过迭代求解薛定谔方程的解。Fortran语言是一个被广泛应用于科学计算的高级编程语言，下面是一个利用Fortran语言编写Numerov算法的示例程序。

程序中，我们定义了一个函数`potential(x)`来表示体系的势能，然后定义了一个`numerov`过程来实现Numerov算法。在`numerov`过程中，我们使用了两个数组`y1`和`y2`来存储迭代过程中的波函数值，最终返回了一个数组`y`来表示求解得到的波函数。在主程序中，我们通过调用`numerov`过程来求解薛定谔方程，并将结果输出到文件中。

program numerov
    implicit none
    real*8, parameter :: dx = 0.01d0    ! 步长
    real*8, parameter :: x_min = -10.0d0 ! 区间左端点
    real*8, parameter :: x_max = 10.0d0  ! 区间右端点
    integer, parameter :: n = int((x_max - x_min) / dx) + 1 ! 离散点数
    real*8 :: x(n), y(n), y1(n), y2(n)  ! 定义数组
    integer :: i ! 循环计数器

    ! 定义势能函数
    real*8 function potential(x)
        potential = 0.5d0 * x * x
    end function potential

    ! Numerov算法
    subroutine numerov(x, y)
        real*8, intent(in) :: x(n)
        real*8, intent(out) :: y(n)
        real*8 :: k1(n), k2(n), k3(n), k4(n)
        integer :: i

        ! 初始化两个数组
        y1(1) = 0.0d0
        y1(2) = 0.01d0
        do i = 3, n
            k1(i) = 2.0d0 * (potential(x(i-1)) - energy)
            k2(i) = 2.0d0 * (potential(x(i-2)) - energy)
            k3(i) = 2.0d0 * (potential(x(i-3)) - energy)
            y1(i) = (12.0d0 - 10.0d0 * k1(i-1) * dx * dx) * y1(i-1) - k2(i) * dx * dx * y1(i-2) / 2.0d0 - k3(i) * dx * dx * y1(i-3) / 12.0d0
        end do

        ! 初始化另一个数组
        y2(n) = 0.0d0
        y2(n-1) = 0.01d0
        do i = n-2, 1, -1
            k1(i) = 2.0d0 * (potential(x(i+1)) - energy)
            k2(i) = 2.0d0 * (potential(x(i+2)) - energy)
            k3(i) = 2.0d0 * (potential(x(i+3)) - energy)
            y2(i) = (12.0d0 - 10.0d0 * k1(i+1) * dx * dx) * y2(i+1) - k2(i) * dx * dx * y2(i+2) / 2.0d0 - k3(i) * dx * dx * y2(i+3) / 12.0d0
        end do

        ! 合并两个数组得到最终结果
        do i = 1, n
            y(i) = (y1(i) + y2(i)) / (1.0d0 + dx * dx * k1(i) / 12.0d0)
        end do
    end subroutine numerov

    ! 主程序
    real*8 :: energy = 0.0d0, delta = 0.001d0
    integer :: j
    open(1, file="wavefunction.dat", status="replace")
    do j = 1, 100
        energy = energy + delta
        call numerov(x, y)
        write(1, *) (x(i), y(i), energy, potential(x(i)), i=1,n)
    end do
    close(1)
end program numerov