求离散时间系统 y[n] +4y[n -1] + 2y[n - 2] + y[n - 3] = x[n] 的单位脉冲响应 h[k]。
时间: 2023-10-19 12:05:36 浏览: 39
我们可以通过 Z 变换来求解该离散时间系统的单位脉冲响应 h[k]。首先,将系统的差分方程进行 Z 变换,得到:
Y(z) + 4z^{-1}Y(z) + 2z^{-2}Y(z) + z^{-3}Y(z) = X(z)
将 Y(z) 提取出来,得到:
Y(z) = X(z) / (1 + 4z^{-1} + 2z^{-2} + z^{-3})
然后,将分母展开,并且利用部分分式分解,我们可以得到:
Y(z) = X(z) / [(1 - z^{-1})(1 + 2z^{-1} + z^{-2})(1 + 2z^{-1})]
对于每一项,我们可以使用 Z 变换的反演公式来求解:
1. 对于 (1 - z^{-1}),其反演公式为 δ[n] - δ[n-1]。
2. 对于 (1 + 2z^{-1} + z^{-2}),其反演公式为 n u[n] (-1)^n。
3. 对于 (1 + 2z^{-1}),其反演公式为 (-2)^n u[n]。
因此,将上述反演公式代入 Y(z) 的表达式中,我们可以得到:
y[n] = δ[n] - δ[n-1] + n u[n] (-1)^n - 2^n u[n]
这样,我们就得到了该离散时间系统的单位脉冲响应 h[k]。
相关问题
用matlab求离散时间系统 y[n] +4y[n -1] + 2y[n - 2] + y[n - 3] = x[n] 的单位脉冲响应 h[k],给出程序代码。
可以使用 MATLAB 的 `filter` 函数求解该离散时间系统的单位脉冲响应 h[k]。具体的程序代码如下:
```matlab
% 系统的差分方程系数
a = [1 4 2 1];
b = 1;
% 求解单位脉冲响应
h = impz(b, a);
% 绘制单位脉冲响应的图像
stem(h);
xlabel('k');
ylabel('h[k]');
title('The Impulse Response of the System');
```
运行上述程序,即可得到该离散时间系统的单位脉冲响应 h[k],并绘制出其图像。
用 matlab 语言编程实现线性时不变系统的冲激响应计算。 y[n]-0.4y[n-1]+0.75y[n-2]=2.2403x[n]+2.4908x[n-1]+2.2403x[n-2]
可以使用 MATLAB 中的 filter 函数实现线性时不变系统的冲激响应计算。
首先,我们需要定义系统的差分方程:
y[n] - 0.4y[n-1] + 0.75y[n-2] = 2.2403x[n] + 2.4908x[n-1] + 2.2403x[n-2]
将其转化为传输函数,得到:
H(z) = (2.2403 + 2.4908z^-1 + 2.2403z^-2) / (1 - 0.4z^-1 + 0.75z^-2)
然后,我们可以使用 MATLAB 中的 impz 函数生成系统的单位冲激响应:
b = [2.2403, 2.4908, 2.2403];
a = [1, -0.4, 0.75];
h = impz(b, a);
最后,我们可以绘制系统的冲激响应:
stem(h); % 离散时间下用 stem 函数绘图
xlabel('n');
ylabel('h[n]');
title('Impulse Response of LTI System');