Hopcroft-Karp算法
时间: 2024-04-04 15:32:37 浏览: 31
Hopcroft-Karp 算法是一种求解二分图最大匹配的常用算法,也是目前已知的最优的算法之一。它的时间复杂度为 $O(\sqrt{V} E)$,其中 $V$ 表示左右两部分节点的总数,$E$ 表示边的数量。
算法思路:
1. 初始化匹配为0;
2. 不断进行增广路径搜索,直到不存在增广路径为止:
1. 从未匹配的左部点开始进行BFS;
2. 每次尝试找到一条增广路径,增广路径的定义是,从一个未匹配的左部点开始,交替经过匹配边和非匹配边,最终到达一个未匹配的右部点;
3. 如果找到了增广路径,就可以将匹配中的边进行修改,将路径上的非匹配边变成匹配边,匹配边变成非匹配边,从而增加匹配数。
Hopcroft-Karp 算法的核心是增广路径的搜索。通过BFS搜索可以找到一条增广路径,并通过修改匹配边和非匹配边来增加匹配数。该算法的时间复杂度比较优秀,可以在实际应用中得到广泛的应用。
相关问题
Hopcroft-Karp算法设计内容
Hopcroft-Karp算法是一种用于求解二分图最大匹配的算法,它的设计内容主要包括以下几个方面:
1. 数据结构的选择:Hopcroft-Karp算法使用了邻接表来表示二分图,以及队列、数组等数据结构来辅助算法的实现。
2. 匈牙利算法的改进:Hopcroft-Karp算法的核心思想是对匈牙利算法的改进,采用了“增广路径”的概念,通过不断寻找增广路径来更新匹配关系,从而实现最大匹配的求解。
3. 优化算法效率:为了提高算法效率,Hopcroft-Karp算法采用了一系列优化策略,如“层次图”优化、“路径压缩”优化等,从而使算法的时间复杂度达到O(E*sqrt(V))。
4. 实现细节:Hopcroft-Karp算法的实现涉及到很多细节问题,如如何初始化匹配、如何搜索增广路径、如何更新匹配关系等,对于算法的正确性和效率都有着重要的影响。
Hopcroft-Karp算法代码实现流程图
以下是Hopcroft-Karp算法的代码实现流程图:
```
1. 初始化所有顶点均为未匹配状态
2. while (存在增广路径) :
3. for (每个未匹配的左顶点) :
4. 使用BFS查找增广路径
5. 如果找到增广路径,反转路径上的匹配边
6. 输出最大匹配结果
```
具体实现细节可以参考以下代码:
```python
def bfs(G, L, R, match, dist):
queue = []
for u in L:
if not match[u]:
dist[u] = 0
queue.append(u)
else:
dist[u] = float('inf')
dist[None] = float('inf')
while queue:
u = queue.pop(0)
if dist[u] < dist[None]:
for v in G[u]:
if dist[match[v]] == float('inf'):
dist[match[v]] = dist[u] + 1
queue.append(match[v])
return dist[None] != float('inf')
def dfs(G, L, R, match, dist, u):
if u is not None:
for v in G[u]:
if dist[match[v]] == dist[u] + 1 and dfs(G, L, R, match, dist, match[v]):
match[v] = u
match[u] = v
return True
dist[u] = float('inf')
return False
return True
def hopcroft_karp(G, L, R):
match = {u: None for u in L}
while bfs(G, L, R, match, {u: float('inf') for u in L}) :
for u in L:
if not match[u]:
dfs(G, L, R, match, {u: float('inf') for u in L}, u)
return match
```
其中,G是存储二分图的邻接表,L和R分别是二分图的左部分和右部分。match是一个字典类型,存储每个顶点的匹配情况。dist是一个字典类型,存储每个顶点到源点的距离。bfs函数用于查找增广路径,dfs函数用于递归查找增广路径并反转匹配边。最后,hopcroft_karp函数是整个算法的入口函数,返回最大匹配结果。