问题的提出 某居民区的民用自来水是由一个圆柱形水塔提供。水塔高12.2米，直径17.4米。水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每天水泵工作两次。现在需要了解居民用水规律与水泵的工作功率。按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率。表2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录。水塔是一个高为12.2米, 直径为17.4米的正圆柱。试建立合适的数学模型，推算任意时刻的用水率、一天的总用水量和水泵的工作功率。

解决方案：

首先，我们需要根据测量记录数据推算出任意时刻的水位高度，进而计算出用水率。

1. 推算水位高度

水塔是一个圆柱形，其底面积为 $A=\pi(\frac{17.4}{2})^2\approx237.9m^2$。当水位高度为 $h$ 时，水塔内的水体积为 $V=hA$。因此，我们可以通过测量记录数据中的水位高度推算出任意时刻的水位高度。

2. 计算用水率

用水率可以用单位时间内的用水量来表示，即 $r=\frac{\Delta V}{\Delta t}$。在这个问题中，我们可以通过测量记录数据中相邻两个时刻的水位高度差来估算用水率。具体来说，我们可以计算相邻两个时刻之间的水位高度差 $\Delta h$，然后根据时间间隔 $\Delta t$ 计算出单位时间内的用水量 $\Delta V$，最后得到用水率 $r=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{\Delta hA}{\Delta t}$。

在计算用水率时，需要注意有些时刻因为水泵正在供水，无法测量水位高度，因此需要忽略这些时刻。

3. 计算一天的总用水量

一天的总用水量可以通过累加每个时间段内的用水量得到。具体来说，我们可以将一天分成若干个时间段，计算每个时间段内的用水量 $\Delta V_i$，最后将所有用水量相加即可得到一天的总用水量 $V_{total}=\sum_{i=1}^{n}\Delta V_i$。

在计算一天的总用水量时，需要注意有些时间段因为水泵正在供水，无法测量水位高度，因此需要忽略这些时间段。

4. 计算水泵的工作功率

水泵的工作功率可以用公式 $P=\rho gQH$ 计算，其中 $\rho$ 是水的密度，$g$ 是重力加速度，$Q$ 是流量，$H$ 是扬程。根据设计，当水位降至最低水位时，水泵自动启动加水，因此可以认为水泵在这个过程中所需的功率最大，即 $P_{max}=\rho gQ_{max}H$。需要注意的是，由于水泵工作时还需要克服管道摩擦等损失，因此实际所需的功率可能会略大于理论值。

综上所述，我们可以建立以下数学模型：

1. 推算水位高度

根据测量记录数据中的水位高度，推算任意时刻的水位高度 $h$。

2. 计算用水率

根据相邻两个时刻的水位高度差和时间间隔，计算用水率 $r$。

3. 计算一天的总用水量

将一天分成若干个时间段，计算每个时间段内的用水量 $\Delta V_i$，最后将所有用水量相加即可得到一天的总用水量 $V_{total}$。

4. 计算水泵的工作功率

根据设计参数和流量计算公式，计算水泵的工作功率 $P_{max}$。

需要注意的是，在实际应用中，上述模型可能还需要考虑一些其他因素，比如水质、水压等。