MATLAB有阻尼单自由度系统的自由振动

在MATLAB中，对阻尼单自由度系统（SDOF）进行自由振动分析通常涉及到求解微分方程。一个典型的阻尼单自由度系统的动力学方程可以表示为：

\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0 \]

其中，\( m \) 是质量，\( c \) 是阻尼系数，\( k \) 是刚度，\( x(t) \) 是位移，\( \dot{x}(t) \) 是速度，\( \ddot{x}(t) \) 是加速度。

为了在MATLAB中模拟这一系统，我们需要对上述二阶微分方程进行转换，通常是转换为两个一阶微分方程，然后使用数值方法求解。例如，我们可以定义状态变量 \( y_1 = x(t) \) 和 \( y_2 = \dot{x}(t) \)，从而得到：

\[ \dot{y_1} = y_2 \]
\[ \dot{y_2} = -\frac{c}{m}y_2 - \frac{k}{m}y_1 \]

以下是一个简单的MATLAB脚本示例，用于求解上述方程组：

function dampened_sdo_vibration
    % 参数定义
    m = 1;    % 质量
    c = 0.1;  % 阻尼系数
    k = 10;   % 刚度
    
    % 初始条件
    y0 = [0.1; 0]; % 初始位移和初始速度
    
    % 时间跨度
    tspan = [0 10];
    
    % 使用ODE求解器（例如ode45）求解
    [t, y] = ode45(@(t, y) dampened_sdo_model(t, y, m, c, k), tspan, y0);
    
    % 绘制结果
    figure;
    plot(t, y(:,1));
    xlabel('Time (s)');
    ylabel('Displacement (m)');
    title('Damped SDOF System Free Vibration');
end

function dydt = dampened_sdo_model(t, y, m, c, k)
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = -(c/m)*y(2) - (k/m)*y(1);
end

这段代码定义了一个函数 `dampened_sdo_vibration`，它设置参数、初始条件、时间跨度，并调用 `ode45` 函数来求解微分方程。 `dampened_sdo_model` 函数返回微分方程的导数。求解完成后，结果会绘制在位移-时间图上。