分支定界法解整数规划

分支定界法是一种求解整数规划问题的有效算法。它的基本思想是将整数规划问题转化为一系列线性规划问题，通过对这些线性规划问题进行分支和剪枝，最终得到整数规划问题的最优解。

具体来说，分支定界法通过不断地将决策变量分为两个部分，并确定其中一部分的取值，得到一个子问题。然后，将该子问题进一步转化为线性规划问题，并求解它。如果该线性规划问题的最优解不满足整数规划问题的限制条件，则剪枝掉该子问题；否则，将该子问题的另一部分加入到分支树中，并重复上述过程，直到得到整数规划问题的最优解。

相关问题

分支定界法求整数规划c语言

分支定界法是一种求解整数规划的方法，可以使用 C 语言来实现。

实现分支定界法的基本思路是：将整数规划问题转化为线性规划问题，并引入一个分支策略来逐步减小问题的规模，直到找到最优解或确定问题无解。

具体实现过程如下：

1. 将整数规划问题转化为线性规划问题，即将整数变量转化为实数变量，得到线性规划问题的标准形式。

2. 选取一个分支策略，比如选择一个整数变量进行分支。将该变量的取值范围分为两个子问题，一个子问题的变量取值范围为该变量取值的下界到中间值，另一个子问题的变量取值范围为中间值到该变量取值的上界。

3. 对两个子问题分别求解线性规划问题，得到两个线性规划问题的最优解。

4. 根据最优解的情况来判断是否需要进一步分支，如果两个子问题的最优解均为整数，那么这个子问题的最优解就是整数规划问题的最优解，否则，需要对最优解为实数的子问题进行进一步分支。

5. 重复步骤 2-4 直到找到整数规划问题的最优解或确定问题无解。

需要注意的是，在实现分支定界法时，需要用到一些线性规划求解器和整数规划求解器，比如 GLPK、CPLEX 等，可以使用 C 语言的相关库来调用这些求解器。

分支定界法求整数规划c语言代码

以下是一个简单的分支定界法求解整数规划的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define MAXN 100 // 最大维数
#define INF 1e9 // 无限大

int n; // 变量数
double a[MAXN][MAXN], b[MAXN], c[MAXN]; // 约束系数、常数、目标函数系数
double ans[MAXN], bestans[MAXN]; // 当前解、最优解
double best; // 最优值
int vis[MAXN]; // 标记变量是否取整
int msk; // 当前搜索的二进制状态

// 计算当前解的目标函数值
double calc() {
    double res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) res += ans[i] * c[i];
    return res;
}

// 判断是否满足当前状态下的所有约束条件
bool check() {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double sum = 0;
        for (int j = 0; j < n; j++) sum += a[i][j] * ans[j];
        if (sum > b[i]) return false;
    }
    return true;
}

// 求解整数规划
void dfs(int k) {
    if (k == n) {
        if (check()) { // 当前解可行
            double val = calc(); // 计算目标函数值
            if (val < best) { // 更新最优解
                best = val;
                for (int i = 0; i < n; i++) bestans[i] = ans[i];
            }
        }
        return;
    }
    int x = vis[k] = msk >> k & 1; // 取整或不取整
    ans[k] = x ? floor(ans[k]) : ceil(ans[k]); // 更新当前解
    if (check()) dfs(k + 1); // 继续搜索
    if (x ^ 1) { // 如果当前变量未取整，可以尝试取整
        ans[k] = floor(ans[k]);
        if (check()) dfs(k + 1);
    }
    if (x ^ 0) { // 如果当前变量已取整，可以尝试不取整
        ans[k] = ceil(ans[k]);
        if (check()) dfs(k + 1);
    }
    vis[k] = -1; // 回溯
}

// 初始化
void init() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) scanf("%lf", &a[i][j]);
        scanf("%lf", &b[i]);
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf", &c[i]);
    best = INF;
}

int main() {
    init();
    for (int i = 0; i < n; i++) ans[i] = c[i] / a[i][i]; // 初值
    dfs(0);
    printf("最优解为：%.2lf，取整后为：\n", best);
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", (int)bestans[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

其中，`dfs`函数实现了分支定界算法的递归搜索过程，`check`函数用于判断当前解是否满足所有约束条件，`calc`函数用于计算当前解的目标函数值。在搜索过程中，我们使用一个二进制状态 `msk` 来记录每个变量是否已经取整，从而实现分支的过程。最终，我们输出最优解及其取整后的结果。