设平面的方程为 $ax + by + cz + d = 0$，椭圆抛物面的方程为x^2/a^2 +y^2/b^2 =2z，求平面和椭圆抛物面的交线的参数方程

将平面的方程代入椭圆抛物面的方程，得到交线的方程：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(ax + by + d)}{2c} = 0$$
整理后可得到：
$$(b^2+2ac)x^2 + (a^2+2bc)y^2 + 2abcdxy + 2a^2czx + 2b^2czy + c^2d^2 = 0$$
令 $A = b^2+2ac, B = a^2+2bc, C = 2abcd, D = 2a^2cz, E = 2b^2cz, F = c^2d^2$，则交线的方程可以写作：
$$Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0$$

由于该方程是一个二次曲线方程，我们可以通过配方法得到标准式，即：
$$\left(x+\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2}\right)^2 + \left(y+\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2}\right)^2 = \frac{4AEF-C^2D^2}{(4AE-C^2)(4BE-C^2)}$$

这是一个标准的椭圆方程，其中 $x_0 = -\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2}$ 和 $y_0 = -\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2}$ 分别为椭圆的中心坐标，$a' = \sqrt{\frac{4AEF-C^2D^2}{(4AE-C^2)(4BE-C^2)}}$ 和 $b' = \sqrt{\frac{4AEF-C^2D^2}{(4BE-C^2)(4AE-C^2)}}$ 分别为椭圆的半轴长。

因此，平面和椭圆抛物面的交线的参数方程为：
$$\begin{cases} x = -\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2} + a'\cos t \\ y = -\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2} + b'\sin t \\ z = \frac{ax+by+d}{2c} \end{cases}$$

其中 $t$ 为参数，取值范围为 $[0, 2\pi)$。