微分方程y²+x²y'=xyy'的通解

这是一个二阶可降微分方程，可以通过变量分离的方法求解。将原方程化为 dy/dx = y/(x^2) + 1/x，然后令 v = y/x，可以求得 v' = (y'x - y)/x^2，将其代入原方程得到 v²v' - v' = v + 1，即 (v² - 1)v' = v + 1，两边同时积分可得通解为 y = kx/(1 - cx^2)，其中 k 和 c 是任意常数。

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微分方程y²+x²y'=xyy'的通解重新计算

该微分方程可以通过分离变量法求解，将其化简为dy/y = (x dx)/(x^2 - y^2)，再进行积分，得到ln|y| = 1/2 ln|(x^2 - y^2)/x^2| + C，其中C为常数。将式子中的绝对值去掉，同时化简得到 y = ±(Cx^2)^(1/3)/(3x^2 - y^2)^(1/3)，其中±为取正负两种情况，即通解。

求函数f(x,y)=2x^2+12xy+y^2在D={(x,y)|x^2+4y^2≤25}上的最大值。

根据拉格朗日乘数法，设L(x,y,λ)=2x^2+12xyy^2-λ(x^2-4y^2-25)，求偏导数并令其等于0，得到以下方程组：

- 4x-2λx=0
- 12y+8λy=0
- x^2-4y^2=25

解得：x=±5，y=0，λ=5/8 或者 x=0，y=±5/2，λ=-5/2。代入原函数f(x,y)中计算得到最大值为125。