legendre多项式表达式推导

Legendre多项式是一类特殊的正交多项式，其表达式可以通过如下的递推公式得到：

$$
\begin{aligned}
& P_{0}(x) = 1 \\
& P_{1}(x) = x \\
& P_{n}(x) = \frac{(2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x)}{n}
\end{aligned}
$$

其中 $P_n(x)$ 表示第 $n$ 个Legendre多项式。这个递推公式可以用来计算任意阶的Legendre多项式，而且计算过程中不需要递归，因此效率较高。

Legendre多项式还可以通过下面的表达式得到：

$$
P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^{k}(2n-2k)!x^{n-2k}}{k!(n-k)!(n-2k)!}
$$

这个表达式的计算复杂度较高，但是可以用来验证递推公式的正确性。