能把Jacobi迭代法写得与Gauss-Seidel迭代法一样详细一点吗

当使用Jacobi迭代法解线性方程组时，我们将待求解的线性方程组表示为下面的形式：

$$
Ax=b
$$

其中，$A$ 是一个 $n\times n$ 的系数矩阵，$x$ 和 $b$ 分别是 $n$ 维向量。Jacobi迭代法的基本思想是将 $A$ 分解为两个矩阵 $D$ 和 $R$，使得 $A=D-R$，其中 $D$ 是 $A$ 的对角线部分，$R$ 是 $A$ 的非对角线部分。对于这个分解，我们可以得到以下迭代公式：

$$
x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})
$$

其中，$x^{(k)}$ 表示第 $k$ 次迭代的 $x$ 值。这个公式表明，我们可以从 $x^{(k)}$ 出发，首先计算 $Rx^{(k)}$，然后从 $b$ 中减去这个结果，得到 $D^{-1}(b-Rx^{(k)})$。这个结果就是 $x^{(k+1)}$ 的值。这个过程可以重复执行，直到 $x^{(k+1)}$ 与 $x^{(k)}$ 之间的差距小到可以接受的程度。

以下是使用Jacobi迭代法求解线性方程组的算法步骤：

1. 将系数矩阵 $A$ 分解为 $D-R$ 的形式，其中 $D$ 是 $A$ 的对角线部分，$R$ 是 $A$ 的非对角线部分。
2. 初始化 $x^{(0)}$ 的值。
3. 对于 $k=0,1,2,\ldots$，执行以下迭代步骤：
- 计算 $Rx^{(k)}$。
- 计算 $D^{-1}(b-Rx^{(k)})$，得到 $x^{(k+1)}$。
- 如果 $x^{(k+1)}$ 与 $x^{(k)}$ 之间的差距小于预设的容差或者迭代次数达到指定的上限，则停止迭代。
4. 输出结果 $x^{(k+1)}$。

需要注意的是，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的区别在于，Jacobi迭代法在计算新的 $x_i$ 时，使用的是旧的 $x_j(j\neq i)$，而Gauss-Seidel迭代法则是使用已经计算出的新的 $x_j(j<i)$ 和旧的 $x_j(j>i)$。这个区别也导致了Jacobi迭代法的收敛速度比Gauss-Seidel迭代法慢一些，但是Jacobi迭代法的并行性更好，因为计算新的 $x_i$ 的时候不需要等待其他 $x_j$ 的计算结果。