已知初始条件x(0)=m,x(tf)=n,其中m、n和a均为常值,tf趋于无穷,求微分方程x''-ax+an=0的通解
时间: 2023-05-27 12:05:16 浏览: 122
设x(t)的通解为x(t)=c1e^(rt)+c2e^(-rt),其中c1、c2、r均为常数,代入微分方程得:
r^2(c1e^(rt)+c2e^(-rt))-a(c1e^(rt)-c2e^(-rt))n=0
化简得:
r^2c1e^(rt)-arc1e^(rt)+arc2e^(-rt)-r^2c2e^(-rt)=0
整理得:
r(c1-c2)e^(rt)-r(c1+c2)e^(-rt)-an=0
令c1-c2=1,c1+c2=0,解得c1=1/2,c2=-1/2,r=√(an)
因此x(t)=(1/2)e^(√(an)t)-(1/2)e^(-√(an)t)为微分方程的通解。
相关问题
已知初始条件y(0)=x0,y(tf)=xf,其中tf趋于无穷,求解微分方程y^(2)-0.0001y+0.0001xf=0
根据微分方程y^(2)-0.0001y+0.0001xf=0,可以将其化为标准形式:y''-0.0001y'+0.0001xf'=0。
令v=y',则原方程可以化为一阶常微分方程组:
y'=v
v'=0.0001v-0.0001xf
设特解为y=k,代入原方程得k^2-0.0001k+0.0001xf=0,解得k=0.01xf。因此特解为y=0.01xf。
设通解为y=yh+y0,其中yh为齐次方程的解,y0为特解。齐次方程为y''-0.0001y'=0,特征方程为r^2-0.0001r=0,解得r1=0,r2=0.0001。因此齐次方程的通解为yh=c1+c2e^0.0001t,即yh=c1+c2。
将通解代入原方程,得到0.0001(c2e^0.0001t)+0.01xf=0,解得c2=-100xf,因此yh=c1-100xf。
根据初始条件y(0)=x0,得到c1=x0+100xf。因此,通解为y=(x0+100xf)-100xf+0.01xf,即y=x0+0.01xf。
由于tf趋于无穷,因此y(tf)=xf,代入通解得到:
x0+0.01tf=xf
解得tf=(xf-x0)/0.01,即tf趋于无穷的条件为xf不等于x0。
已知x*y的矩阵,求大小为n*m的矩阵
如果要从一个 $x \times y$ 的矩阵中取出一个大小为 $n \times m$ 的矩阵,可以按照下面的方法进行:
1. 从第 $i$ 行开始取,取 $n$ 行;
2. 对于每一行,从第 $j$ 列开始取,取 $m$ 列。
具体实现可以参考以下 C++ 代码:
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int x, y, n, m;
int a[1010][1010];
cin >> x >> y >> n >> m;
for (int i = 1; i <= x; i++) {
for (int j = 1; j <= y; j++) {
cin >> a[i][j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cout << a[i][j] << ' ';
}
cout << endl;
}
return 0;
}
```
其中,`a[][]` 表示原矩阵,`x, y` 分别表示原矩阵的行数和列数,`n, m` 分别表示要取出的子矩阵的行数和列数。输出的是取出的子矩阵。