已知,x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2,恒成立,则实数m的最大值为
时间: 2024-06-03 09:10:56 浏览: 11
根据已知条件可得:
xy = x^2y
==> xy/x = x^2y/x
==> y = x
将y = x代入原式:
xy = x^2y
==> x^2y^2 = x^3y
==> xy = x^2
==> x = y
将x = y代入原式:
xy = x^2y
==> x^2 = x^3
==> x = 1
将x = 1代入原式:
xy = x^2y
==> y = 1
因此,在xy≥m-2恒成立的条件下,实数m的最大值为m = xy + 2 = 1 + 2 = 3。
相关问题
已知,x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2,恒成立,则实数m的最大值为
首先将 xy=x+2y 转化为 x(y-1)=2y,得到 x=2y/(y-1)
将其代入 xy≥m-2,得到 2y^2/(y-1)≥m-2
化简得 y^2-2my+2m-4≤0
解得 y∈(m-√(m^2-2m+4))/2, (m+√(m^2-2m+4))/2
由于 y>0,所以只需要考虑 y∈(m-√(m^2-2m+4))/2, (m+√(m^2-2m+4))/2 ∩ (0, +∞)
将 y 代入 x=2y/(y-1),得到对应的 x 值,即 x=2(m-2)/(m-2±√(m^2-2m+4))
由于 xy≥m-2 恒成立,所以要确定最大值,需要使 x 最大。
将 x=2(m-2)/(m-2±√(m^2-2m+4)) 形式化简得 x=1±√(m^2-2m+4)/(m-2)
将其代入 xy≥m-2,得到 m≤(x^2-2x+4)/(x-1)^2+2
取等时得到最大值,即 m=3+2√2
已知x^2+y^2+z^2=1,求xy+yz+xz
根据柯西-斯瓦茨不等式,有:
$(xy+yz+xz)^2 \leq (x^2+y^2+z^2)(y^2+z^2+x^2)$
代入已知条件得:
$(xy+yz+xz)^2 \leq 3$
因为 $x,y,z$ 为实数,所以 $xy+yz+xz$ 的取值范围为:
$-1 \leq xy+yz+xz \leq 1$
综上所述,$xy+yz+xz$ 的值在 $[-1,1]$ 之间。
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