已知X、Y的概率密度函数，怎么求X^2-2XY的概率密度函数

首先，我们可以使用变量替换法来解决这个问题。令Z = X^2 - 2XY，则有：

Z = X(X - 2Y)

因此，我们需要找到X和Y的联合概率密度函数，并使用变量替换法来计算Z的概率密度函数。

假设X和Y是独立的随机变量，则它们的联合概率密度函数为：

f(x,y) = f(x) * g(y)

其中f(x)和g(y)分别是X和Y的概率密度函数。

接下来，我们需要使用变量替换法来计算Z的概率密度函数。令：

u = X

v = X - 2Y

则有：

X = u

Y = (u - v) / 2

根据变量替换法，我们可以得到：

f(u,v) = |J| * f(x,y)

其中J是变换矩阵的行列式，它的值为：

J = |du/dx du/dy|
|dv/dx dv/dy|

J = |1 0|
|-2 1/2|

J = 1/2

因此，我们可以得到：

f(u,v) = 1/2 * f(x,y)

接下来，我们需要计算Z的概率密度函数。根据定义，Z的概率密度函数为：

h(z) = ∫∫f(u,v) * δ(z - u(u - 2v)) * dv * du

其中δ(z - u(u - 2v))是Dirac Delta函数。

将u(u - 2v)替换为Z，有：

h(z) = ∫∫f(u,v) * δ(z - Z) * (1/2) * dv * du

令：

w = u - v/2

则有：

u = w + v/2
v = 2u - 2w

根据变量替换法，我们可以得到：

h(z) = ∫∫f(w, u) * δ(z - Z) * (1/2) * (2du) * (dv/2)

h(z) = ∫f(w, u) * δ(z - Z + u^2 - w^2) * du

因此，Z的概率密度函数为：

h(z) = ∫f(w, u) * δ(z - Z + u^2 - w^2) * du

综上所述，我们可以使用变量替换法来求解X^2-2XY的概率密度函数，其计算公式为：

h(z) = ∫f(w, u) * δ(z - Z + u^2 - w^2) * du

其中Z = X^2 - 2XY，f(x,y)是X和Y的联合概率密度函数。