已知边缘分布X，Y和X、Y的联合分布，以及X，Y的函数Z=XY的分布，求随机变量X和Z的联合分布

根据乘法公式，可以得到X和Z的联合概率密度函数为：

f(x,z) = f(x) * f(z|x)

其中，f(x)是已知的边缘分布X的概率密度函数，f(z|x)是条件分布Z|X的概率密度函数。

由于Z=XY，因此Z|X的分布可以表示为：

f(z|x) = f(x)^(-1) * f(z/x|x)

将Z=XY代入，得到：

f(z|x) = x^(-1) * f(z/x|x)

因此，X和Z的联合概率密度函数为：

f(x,z) = f(x) * x^(-1) * f(z/x|x)

由于已知X、Y的联合分布，可以通过边缘分布和联合分布之间的关系得到条件分布Z|X的概率密度函数，即：

f(z|x) = ∫f(x,y)dy / x

其中，f(x,y)是X、Y的联合概率密度函数。

因此，X和Z的联合概率密度函数为：

f(x,z) = f(x) * ∫f(x,y)dy / (x^2 * f(z/x|x))

这就是X和Z的联合分布。

相关问题

已知边缘分布X，Y，以及X，Y的函数Z=XY的分布，求随机变量X和Z的联合分布

根据乘法公式，可以得到X和Z的联合概率密度函数为：

f(x,z) = f(x) * f(z|x)

其中，f(x)是已知的边缘分布X的概率密度函数，f(z|x)是条件分布Z|X的概率密度函数。

由于Z=XY，因此Z|X的分布可以表示为：

f(z|x) = f(x)^(-1) * f(z/x|x)

将Z=XY代入，得到：

f(z|x) = x^(-1) * f(z/x|x)

因此，X和Z的联合概率密度函数为：

f(x,z) = f(x) * x^(-1) * f(z/x|x)

这就是X和Z的联合分布。

已知离散型随机变量X，Y的边缘分布和X、Y的联合分布，以及X，Y的函数Z=XY的分布，求随机变量X和Z的联合分布

根据乘法公式，可以得到X和Z的联合概率分布为：

P(X=x, Z=z) = P(X=x) * P(Z=z|X=x)

其中，P(X=x)是已知的离散型随机变量X的边缘分布函数，P(Z=z|X=x)是条件概率分布函数Z|X的概率质量函数。

由于Z=XY，因此Z|X的分布可以表示为：

P(Z=z|X=x) = P(XY=z|X=x)

将Z=XY代入，得到：

P(Z=z|X=x) = P(Y=z/x=x) * P(X=x)

因此，X和Z的联合概率分布为：

P(X=x, Z=z) = P(X=x) * P(Y=z/x=x) * P(X=x)

由于已知X、Y的联合分布，可以通过边缘分布和联合分布之间的关系得到条件分布P(Y=z/x=x)，即：

P(Y=z/x=x) = ΣP(X=x, Y=y) / P(X=x) * δ(z-xy)

其中，δ是Kronecker δ函数，表示当z=xy时，函数值为1，否则为0。

因此，X和Z的联合概率分布为：

P(X=x, Z=z) = P(X=x) * ΣP(X=x, Y=y) / P(X=x) * δ(z-xy) * P(X=x)

化简得：

P(X=x, Z=z) = P(X=x)^2 * ΣP(X=x, Y=y) * δ(z-xy)

这就是X和Z的联合分布。