知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     上一点 P 到两个焦点的距离之和为 4，离心率为 1 2 ． (1)求椭圆 C 的方程

### 回答1：
椭圆的方程通常是这样的：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

其中，$a$ 是椭圆的长轴，$b$ 是椭圆的短轴。

根据给定的条件，我们可以得出：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{4}{4a^2} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{4}{4a^2} - \frac{1}{4} = 0$$

因此，椭圆的方程为：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{4}{4a^2} - \frac{1}{4} = 0$$

这里的离心率为 $\frac{c}{a} = \frac{2}{a}$，其中 $c$ 是椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离。

如果你想求椭圆的标准方程，可以先求出椭圆的中心点坐标 $(h, k)$ 和旋转角 $\alpha$，然后再进行转换。

### 回答2：
设椭圆C的焦点分别为F1和F2，离心率为e。根据椭圆的定义，对任意一点P(x,y)来说，PF1 + PF2 = 2a = 4，所以a = 2。

根据离心率的定义，e = PF1 / PF2，已知e = 1/2，所以PF1 = (1/2)PF2。
根据椭圆的定义，对任意一点P(x,y)，我们有
√((x-1/2)² + y²) = (1/2)√((x+1/2)² + y²) (1)
由(1)可以得到
(x-1/2)² + y² = (1/4)((x+1/2)² + y²) (2)
化简(2)，得：
(x-1/2)² + y² = (1/4)(x² + 2x + 1/4 + y²)
(x-1/2)² + y² = (1/4)x² + (1/2)x + 1/16 + (1/4)y²
4(x-1/2)² + 4y² = x² + 2x + 1/4 + y²
4x² - 4x + 4y² = x² + 2x + 1/4
3x² + 6x + 4y² = 1

所以椭圆C的方程为3x² + 6x + 4y² = 1。

### 回答3：
设椭圆的焦点分别为 F1(x1, y1) 和 F2(x2, y2)，离心率为 e，则根据椭圆的定义有：
F1F2 = 2a = 4
e = c/a = 1/2
其中 c 是焦点到中心的距离，a 是椭圆的半长轴。

由于离心率为 1/2，且焦点到中心的距离等于半长轴的一半，可得 c = a/2。

根据椭圆的定义，焦点到点 P 的距离之和等于 2a，即 FP1 + FP2 = 2a = 4。

设点 P 的坐标为 (x, y)，则根据距离公式可得：
√((x − x1)^2 + (y − y1)^2) + √((x − x2)^2 + (y − y2)^2) = 4

代入焦点的坐标 (x1, y1) = (a/2, 0) 和 (x2, y2) = (-a/2, 0)，并整理上述等式得：
√((x − a/2)^2 + y^2) + √((x + a/2)^2 + y^2) = 4

由于椭圆是关于 x 和 y 轴对称的，可以只考虑 x≥0 的部分，所以可以将上述方程化简为：
√((x − a/2)^2 + y^2) + √((x + a/2)^2 + y^2) = 4

进一步整理可得椭圆 C 的方程为：
(x − a/2)^2 + y^2 + (x + a/2)^2 + y^2 = 16
2x^2 + 4y^2 = 16
x^2 + 2y^2 = 8

因此，椭圆 C 的方程为 x^2 + 2y^2 = 8。