在邻接矩阵上实现最短路经、最小生成树的求法

在邻接矩阵上实现最短路径的常用方法是使用 Dijkstra 算法。这是一种贪心算法，它的基本思想是从起点开始，每次找出离起点最近的未标记的顶点，标记并更新从起点到该顶点的距离。这个过程重复执行，直到所有的顶点都被标记为止。

Dijkstra 算法的基本步骤如下：

1. 将所有的顶点的距离设为无穷大，将起点的距离设为 0。

2. 将所有的顶点放入一个优先队列中，按照距离排序。

3. 取出优先队列中距离最小的顶点 u，标记它为已经访问过。

4. 遍历顶点 u 的所有邻接点 v，若 v 未被标记，则将其距离更新为 min(dis[v], dis[u] + w(u,v))。

5. 重复步骤 3 和 4，直到所有的顶点都被标记。

在邻接矩阵上实现最小生成树的常用方法是使用 Prim 算法。这也是一种贪心算法，它的基本思想是从起点开始，每次找出离当前生成树最近的未标记的边，并将该边加入生成树中。这个过程重复执行，直到所有的顶点

相关问题

C语言创建图的邻接矩阵并用普里姆算法求最小生成树

创建图邻接矩阵的步骤如下：

1. 定义一个二维数组来表示图的邻接矩阵，其中第i行第j列的值表示节点i到节点j的边权重。如果两个节点之间没有边，则该位置的值可以设置为无穷大或者一个非常大的值。

2. 初始化邻接矩阵，将所有值都设为无穷大或者一个非常大的值。

3. 遍历所有的边，将相应位置的值设置为边的权重。

下面是一个简单的示例代码：

#include <stdio.h>
#define MAX 100
#define INF 0x7fffffff
 
int G[MAX][MAX];
int n, m;
 
void createGraph() {
    int i, j, u, v, w;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(i = 1; i <= n; i++) {
        for(j = 1; j <= n; j++) {
            G[i][j] = INF;
        }
    }
    for(i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        G[u][v] = G[v][u] = w;
    }
}

接下来，我们使用普里姆算法求最小生成树。普里姆算法是一种贪心算法，它的基本思想是从一个任意节点开始，不断选择与当前生成树相连的最小边，直到所有的节点都被连通为止。具体步骤如下：

1. 选择一个任意节点作为起点，加入生成树中。

2. 遍历与生成树相邻的节点，找到其中权重最小的一条边，将它所连接的节点加入生成树中。

3. 重复步骤2，直到所有的节点都被加入生成树中。

下面是一个简单的示例代码：

void prim() {
    int i, j, k, min, sum = 0;
    int lowcost[MAX], closest[MAX];
    for(i = 2; i <= n; i++) {
        lowcost[i] = G[1][i];
        closest[i] = 1;
    }
    closest[1] = 0;
    for(i = 2; i <= n; i++) {
        min = INF;
        k = 0;
        for(j = 2; j <= n; j++) {
            if(closest[j] != 0 && lowcost[j] < min) {
                min = lowcost[j];
                k = j;
            }
        }
        closest[k] = 0;
        sum += min;
        for(j = 2; j <= n; j++) {
            if(closest[j] != 0 && G[k][j] < lowcost[j]) {
                lowcost[j] = G[k][j];
                closest[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("最小生成树的权值之和为：%d\n", sum);
}

在上面的代码中，我们使用两个数组`lowcost`和`closest`来记录生成树中与每个节点相连的最小边和最近的节点。在初始化时，我们将数组`lowcost`和`closest`分别设置为节点1到其他节点的边权重和节点1。接着，我们遍历所有的节点，找到与当前生成树相邻的节点中，权重最小的一条边，并将它所连接的节点加入生成树中。接着，我们更新数组`lowcost`和`closest`中的值，继续遍历下一个节点，直到所有的节点都被加入生成树中。

完整代码如下：

#include <stdio.h>
#define MAX 100
#define INF 0x7fffffff
 
int G[MAX][MAX];
int n, m;
 
void createGraph() {
    int i, j, u, v, w;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(i = 1; i <= n; i++) {
        for(j = 1; j <= n; j++) {
            G[i][j] = INF;
        }
    }
    for(i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        G[u][v] = G[v][u] = w;
    }
}
 
void prim() {
    int i, j, k, min, sum = 0;
    int lowcost[MAX], closest[MAX];
    for(i = 2; i <= n; i++) {
        lowcost[i] = G[1][i];
        closest[i] = 1;
    }
    closest[1] = 0;
    for(i = 2; i <= n; i++) {
        min = INF;
        k = 0;
        for(j = 2; j <= n; j++) {
            if(closest[j] != 0 && lowcost[j] < min) {
                min = lowcost[j];
                k = j;
            }
        }
        closest[k] = 0;
        sum += min;
        for(j = 2; j <= n; j++) {
            if(closest[j] != 0 && G[k][j] < lowcost[j]) {
                lowcost[j] = G[k][j];
                closest[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("最小生成树的权值之和为：%d\n", sum);
}
 
int main() {
    createGraph();
    prim();
    return 0;
}

注意，上面的代码中使用了无穷大来表示两个节点之间没有边。在实际使用时，可以根据具体情况选择一个合适的值来表示无穷大。此外，普里姆算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。当节点数比较大时，可能需要使用更高效的算法来求解最小生成树。

建立无向有权图的邻接矩阵并用普里姆算法求最小生成树

首先，我们需要了解无向有权图的邻接矩阵是什么。邻接矩阵是用一个二维数组来表示图的方法，其中数组中的每个元素表示该位置上的两个顶点是否有边相连，如果相连则为边权，否则为无穷大。

假设我们有一个这样的无向有权图，其中有5个节点和7条边：

     2
 1------2
 |\    /|
 | \  / |
4|  \/  |3
 |  /\  |
 | /  \ |
 |/    \|
 4------5
     5

我们可以用邻接矩阵来表示这个图，其中数组a[i][j]表示从节点i到节点j的边权，如果没有边相连则为无穷大：

     1   2   3   4   5
 1   0   2  inf  4  inf
 2   2   0   3   5   1
 3  inf  3   0  inf inf
 4   4   5  inf  0   1
 5  inf  1  inf  1   0

接下来，我们可以用普里姆算法来求最小生成树。普里姆算法是一种贪心算法，它从一个任意的节点开始，不断寻找与该节点直接相连的最小权值边所连接的节点，并将其加入生成树中，直到所有节点都加入为止。

我们在这里选择节点1作为起点，然后不断寻找与它相连的最小权值边所连接的节点。具体步骤如下：

1. 将节点1加入生成树中，并将其标记为已访问。
2. 找到与节点1相连的所有边，并选择其中权值最小的边（即与节点2相连的边），将节点2加入生成树中，并将其标记为已访问。
3. 找到与生成树中已有节点相连的所有边，并选择其中权值最小的边（即与节点5相连的边），将节点5加入生成树中，并将其标记为已访问。
4. 找到与生成树中已有节点相连的所有边，并选择其中权值最小的边（即与节点4相连的边），将节点4加入生成树中，并将其标记为已访问。
5. 找到与生成树中已有节点相连的所有边，并选择其中权值最小的边（即与节点2相连的边），但是节点2已经被标记为已访问，因此我们跳过这条边。
6. 找到与生成树中已有节点相连的所有边，并选择其中权值最小的边（即与节点5相连的边），但是节点5已经被标记为已访问，因此我们跳过这条边。
7. 所有节点都已经被加入生成树中，算法结束。

最终得到的最小生成树是：

     2
 1------2
        |
 4------5

其中所有边的权值之和为2+1+1=4。